Второй этап расчета воздушного винта
Целью второго этапа расчета является определение тяги, потребляемой мощности и геометрических размеров воздушного винта.Исходными данными для второго этапа расчета являются:
- располагаемая мощность двигателя N, Вт
- частота вращения винта , 1/с
- расчетная скорость Vo , м/с
- число лопастей винта i
- предполагаемые радиус винта R, м, и тяга Р, Н, полученные на первом этапе расчета
Для проведения расчетов лопасть винта (рис. 6. 7)
Рис 6.7 Силовое воздействие потока на элементы лопасти винта
разбивается на конечное число участков с размерами bR.. При этом считается, что на каждом выбранном участке закрутка лопасти отсутствует, а скорости и углы набегания потока по радиусу-не меняются. При уменьшении R, то есть при увеличении числа рассматриваемых участков, погрешность, вызванная принятым допущением, уменьшается. Практика показывает, что если для каждого участка принимать скорости и углы, присущие его центральному сечению, то погрешность становится несущественной при разбиве лопасти на 10 участков с R=0,1r, При этом можно считать, что первые три участка, отсчитываемые от оси винта, тяги не дают, потребляя при этом 4… 5% мощности двигателя. Таким образом, расчет целесообразно вести для семи участков с =0,3 до =1,0.
Дополнительно задаются:
- относительная ширина лопасти =bmax /D
- закон изменения ширины лопасти по радиусу b =f (r)
- закон изменения относительной толщины лопасти =с/b
- закон изменения углов атаки рассчитываемых участков
Первоначально максимальную относительную ширину лопасти для деревянных винтов целесообразно задавать равной 0,08.Закон изменения ширины лопасти и относительной толщины может быть задан в виде формулы, таблицы или чертежа винта (рис. 6. 1).
Рис 6.1 Воздушный винт фиксированного шагаВеличины углов атаки выбранных сечений задаются конструктором с учетом обратного аэродинамического качества . Значения коэффициентов Су и K=1/ снимаются с графиков рис. 6.4 и 6.5 с учетом выбранного профиля и значений и .
Рис 6.4 Зависимость коэффициента подьемной силы и обратного аэродинамического качества от угла атаки и относительной толщины для профиля ВС-2
Рис 6.5 Зависимость коэффициента подьемной силы и обратного аэродинамического качества от угла атаки и относительной толщины для профиля РАФ-6Первым шагом второго этапа расчета является определение скорости потока V в плоскости винта. Эта скорость определяется по формуле
полученной из совместного решения уравнений тяги и расхода воздуха, проходящего через ометаемую винтом площадь.
Предполагаемые значения тяги Р, радиуса R и площади Sом берутся из первого этапа расчета.
Если в результате расчета окажется, что мощность, потребляемая винтом, отличается от располагаемой не более чем на 5… 10%, то второй этап расчета можно считать выполненным.
Если потребляемая винтом мощность отличается от располагаемой на 10… 20 %, то необходимо увеличить или уменьшить ширину лопасти, учитывая, что потребляемая мощность и тяга винта изменяются примерно пропорционально хорде лопасти. Диаметр, относительные толщины и углы установки сечений при этом остаются неизменными.
В некоторых случаях может оказаться, что потребляемая винтом мощность и его тяга более чем на 20% отличаются от предполагаемых по результатам первого этапа расчета. В этом случае по соотношению потребляемой и располагаемой мощностей
с использованием графика (рис. 6. 10) определяются значения коэффициентов kR и kP . Эти коэффициенты показывают, во сколько раз необходимо изменить предполагаемые радиус и тягу винта, являющиеся исходными для второго этапа расчета. После этого второй этап расчета повторяется.
Рис 6.10 Зависимость поправочных коэффициентов от соотношения потребляемой и располагаемой мощностейПо окончании второго этапа расчета необходимые для изготовления геометрические размеры винта (R, r, b, с и ) в удобных для его изготовления единицах сводятся в таблицу.
Математические модели для инженерных расчетов летательных аппаратов мультироторного типа (часть 1)
УДК 519.6
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДЛЯ ИНЖЕНЕРНЫХ РАСЧЕТОВ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ МУЛЬТИРОТОРНОГО ТИПА (ЧАСТЬ 1)
© А.А. Арзамасцев, А.А. Крючков
Ключевые слова: математическая модель; мультироторный летательный аппарат; квадрокоптер; расчет параметров; информационная система.
Рассматриваются математические модели, которые могут быть полезными для проектирования мультироторных летательных аппаратов. В их число входят: статическая тяга воздушного винта, масса всего аппарата и дополнительного оборудования, время полета, некоторые экономические показатели.
В настоящее время беспилотные летательные аппараты начинают приобретать все большую и большую популярность. Относительно недорогие и не требующие трудоемкого технического обслуживания, они незаменимы в таких сферах, как мониторинг городской среды, оптимизация дорожного движения, наблюдение за лесными массивами с целью защиты от пожаров, памятниками истории и культуры, имеющими большую высоту, газопроводами и другими промышленными объектами, картография.
Основными проблемами, возникающими при разработке летательных аппаратов такого типа, являются:
– недоступность надлежащего математического и программного обеспечения, позволяющего осуществлять расчеты технических характеристик в соответствии с заданными исходными данными, параметрами окружающей среды и спецификой выполняемых задач;
– отсутствие информационных систем, позволяющих осуществлять оптимальное решение задач маршрутизации, взаимодействия нескольких аппаратов с возможным обменом данными; оптимизацию работы аппаратов в группе;
– недостаточная разработанность информационных систем, направленных на реализацию оптимальных решений в качестве управляющих воздействий.
Поэтому целью данной статьи является разработка математических моделей, позволяющих осуществлять решение некоторых из перечисленных задач.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ ДЛЯ РАСЧЕТА ТЕХНИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК МУЛЬТИРОТОРНЫХ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ
Следующие расчетные зависимости получены в предположении статического режима мультироторного летательного аппарата, т. е., что он находится в режиме «висения».
Расчет полетной массы летательного аппарата.
Пусть имеется мультироторный аппарат массой М [к^] с числом винтов к, с радиусом каждого винта г [т] и шагом к [т]. Число оборотов каждого винта (двигателя) п [8-1].
Скорость потока воздуха от аппарата вниз:
Vdn = hn [ms-1]. (1)
Масса потока воздуха вниз:
Mdn = npr2hnk [kgs-1], (2)
где р – плотность воздуха [kgm-3].
Плотность воздуха может быть рассчитана по уравнению Менделеева-Клапейрона:
р = % [kgm-3], (3)
где P – давление воздуха [Pa]; R – универсальная газовая постоянная [Jmol-1K-1]; T – абсолютная температура воздуха [К]; ц — усредненная молекулярная масса воздуха (28,98-Ю-3 [kgmol-1]).
Подставляя (3) в (2), получим уравнение для расчета массы воздуха, направляемого винтами аппарата вниз:
Mdn = Tt RT [kgs1]. (4)
Применяя известное уравнение mv = Ft или F = mv/t и учитывая, что m/t = Mdn и v = Vdn (уравнение (1)), получим:
г■ и Pu.r2h.2n2k „„ …
F = Mg=n-[N], (5)
где g – ускорение свободного падения, 9,81 [ms-2].
Из (5) можно вычислить полную массу удерживаемого аппарата:
„ Pxr2h2n2k п ,
= 7t_ ífffl— [kg]. (6)
Учитывая особенности конструкции мультиротор-ного летательного аппарата, в уравнение (6) необходимо ввести дополнительно поправочный безразмерный коэффициент 0 < г| < 1, равный отношению площади работы воздушного винта с перекрытием деталями конструкции аппарата и полной площади захвата воздушного винта:
1821
.. Рц r2h n к п , М = п-11 [kg].
RTg 1 L feJ
(7)
Пример 1. Для квадрокоптера DJI «Фантом» FC40 имеем пропеллер с радиусом 103,5 мм, т. е. r = 0,1035 m и шагом 100 мм, h = 0,1 m. Число оборотов пропеллера составляет 4900 об./мин., или n = 81,67 s-1. Значение коэффициента т| в данном случае составляет 0,91. Число пропеллеров к = 4. Учитывая следующие значения физических величин: P = 101325 Pa (нормальное атмосферное давление); ц =28,9810-3 [fcg mol-1] (усредненная молекулярная масса воздуха); R = 8,31 универсальная газовая постоянная [Jmol-1K-1]; Т = 300 [K] (средняя температура); g = 9,81 [ms-2] ускорение свободного падения, получим M = 0,89 kg. Это значение довольно близко реальному, когда аппарат (пустая масса – 0,7 kg) взлетает в штатном режиме, неся на борту батарею массой 0,17 kg и камеру массой 0,03 kg. В сумме реальная масса получается 0,9 kg.
Расчет необходимой емкости батареи по времени полета. Работа по перемещению летательного аппарата массой M в потоке воздуха, движущегося со скоростью, определяемой уравнением (1):
A = FS = MgVdnt = Mghnt [J],
а суммарная мощность всех двигателеи:
N = Mghn [W].
(8)
(9)
Учитывая, что емкость батареи С [ЛЬ], ток I [А] и время ее работы Г [8] могут быть связаны соотношением:
ставило 13 мин. Расчетное значение по уравнению (12) составляет 731,4 8, или 12,2 мин.
Оптимизация емкости батареи и определение максимальной продолжительности полета аппарата. В формуле (12) полетная масса М включает массу самого летательного аппарата Мку = 0,7 kg и массу батареи МЬй, которая в свою очередь зависит от емкости батареи С. Кроме того, число оборотов двигателей п в статическом режиме висения аппарата зависит от его полной массы М.
Для указанных зависимостей методом наименьших квадратов получены следующие аппроксимационные формулы.
Для массы батареи:
МЬ(и = (ОС ьу1000 = (69С 16,37)/1000 [к^, (13)
где С – емкость батареи [ЛЬ], а = 69 и Ь = 16,37 – размерные коэффициенты, полученные путем аппроксимации 48 пар данных (масса и емкость) различных ЫРо 38 батарей с максимальным током разрядки до 30С [1]. Следует отметить, что значения этих коэффициентов характерны лишь для настоящего уровня технологий. В будущем, по мере совершенствования технологий, их значения могут измениться.
Уравнение для частоты вращения воздушных винтов от полетной массы аппарата в соответствии с формулой (6) должно иметь вид степенной зависимости с показателем степени 0,5. Аппроксимация данных для аппарата «Фантом» позволила получить следующее уравнение:
/ = 3600С [A],
(10)
n = к ÍMto Щ0* = 76 [s-i]
Mkv J МЬас )
(14)
где 3600 [s/h] – размерный коэффициент, равный количеству секунд в часе, а также, пользуясь формулой для расчета мощности электрического тока N = IU, где U -напряжение на батарее [V], получим:
С = [Ah],
3600Í/T1 L J’
(11)
где цеп – коэффициент полезного действия двигательной установки.
Пример 2. Для этого же аппарата в аналогичных условиях, т. е. М = 0,9 kg, к = 0,1 т, п = 81,67 8-1, по формуле (9) получим значение рабочей мощности, необходимой для его висения N = 72,1 Ш. Если время висения аппарата составляет 11 мин. (660 8), коэффициент полезного действия двигательной установки цеп = 0,6, а напряжение на батарее и = 10 V, что нормально для рабочего режима трехбаночной ЫРо батареи, получим по уравнению (11), что необходимая емкость батареи для этого случая составляет 2,2 АЬ.
Расчет времени полета аппарата. Из уравнения (11) легко получить формулу для расчета времени полета по емкости батареи и другим характеристикам аппарата:
Из рис. 12 видно, что погрешность такой аппроксимации невелика и составляет не более 5 %. Подставляя уравнения (13) и (14) в формулу (12), получим зависимость времени висения аппарата от емкости батарей:
с(0 =
CUti 3600
£ГЛй[М^„ (аС Ь)/1000]^1
(аС Ь) 1′ lOOOMfo,]
[s].
(15)
Данная функция имеет максимум (рис. 1), т. е. для заданного типа летательного аппарата существует оптимальная емкость батареи – С , обеспечивающая его максимальное время в полете – Гтах. Для определения этих показателей определим производную Л(С)МС и приравняем ее к нулю.
d.t(C) _ 18000000VTÖ ц^ис-ас гь гооом]^)
dC
ghkM^
aC b ioooMkv 5/2
Mfo, )
= 0,
откуда С*:
с* _ 2(b 1000Mto) |Ah|
(16)
í = 7nf3600 [s].
Mghn L J
(12)
Подставляя выражение для расчета С в уравнение (15), получим максимальное время полета аппарата – Гтах.
Пример 3. Для этого же аппарата в других похожих условиях, при М = 0,94 к§, к = 0,1 т, п = 93 8-1, цеп = 0,6, и = 10 V, С = 2,9 АЬ, время нахождения в полете со-
2400(b 1000Mfc„)l/Tie
■■ [s].
(17)
1000MfrvJ
1822
Рис. 1. Зависимость времени в полете мультироторного летательного аппарата от емкости батареи
Необходимо отметить, что расчеты значения производной dt(C)/dC, C и ^х выполнены с использованием %«Ь-ресурса Шо11хатА1рЬа [2].
Пример 4. Рассчитать оптимальную емкость аккумуляторной батареи (ЫРо, 38, максимальный ток – до 30C) для летательного аппарата, а также максимальное возможное время его полета. Значения параметров приведены в предыдущих примерах. По формуле (16) получаем C = 20,76 АЬ, а по формуле (17) ^^ = 1597 5 = 26,6 мин. То есть максимальное время полета данного аппарата более 26 мин. при емкости батареи чуть более 20 АЬ. Из графика рис. 1 видно также, что при емкости батареи около 12 АЬ будет достигнуто время полета около 25 мин. Поэтому такая батарея является предпочтительной ввиду ее меньшей стоимости.
Определение емкости батареи, обеспечивающей максимальное время полета мультироторного аппарата заданного типа на основе нескольких замеров. Разработчики и пользователи мультироторных летательных аппаратов часто решают проблему выбора такой емкости батареи, которая бы обеспечивала максимальное время полета при прочих равных параметрах. Как это было показано на рис. 1, при увеличении емкости батареи время полета сначала возрастает до максимального значения, а затем медленно убывает из-за увеличения полной массы аппарата за счет батареи. Поэтому для увеличения времени полета обычно покупают ряд батарей и опытным путем выбирают наилучший вариант.
Предлагаемая здесь методика позволит подобрать оптимальную батарею по 3 замерам. Методика (рис. 2) основана на интерполировании (если имеется три замера) или аппроксимации (если имеется более трех замеров) таблицы эмпирических данных, которая приведена ниже (табл. 1).
В общем случае аппроксимирующая зависимость (2) имеет следующий вид:
у(х) = а0 а±х а2х2
(18)
где а0, а1, а2 – размерные коэффициенты.
Проще всего определить коэффициенты а0, а1, а2, используя интерполяционную формулу Лагранжа:
1
У
//
//
и
//
/
/
/
/
Рис. 2. Действительная зависимость времени полета от емкости батареи – 1 и ее параболическая аппроксимация (интерполирование) – 2
Таблица 1
Емкость батареи, АЬ *1 *2 *Я
Время полета, мин. Ул Уз Уя
у(х) = Ух
(х – х2)(х – х3) (х1-х2)(х1-х3)
У2,___________ Уз;
■ (х2-х1)(х2-х3)
1 (*3-*1)(*3-*2)
(19)
где х – текущая емкость батареи, а все остальные переменные – числа из табл. 1. После приведения подобных получим коэффициенты а0, а1, а2. Теперь наилучшую емкость батареи определим по формуле:
с = –Ц
2 а2
(20)
Более точно коэффициенты а0, а!, а2 и оптимальную емкость батареи можно определить, если у вас имеется большее число пар эмпирических данных, чем 3 (табл. 1). В этом случае для аппроксимации данных таблицы уравнением (18) может быть использован метод наименьших квадратов:
у = ах1 Ьх с Е = ¿(у, – ах2, — Ьх — с)
1=1
дЕ
(21)
-= —22 (у — ах2 — Ьх — с) х2 = 0
да ‘ ‘ > ■
Iе = —2Е(у — ах2 — Ьх — с)х, = 0
дЕ = —22 (у — ах2 — Ьх — с) = 0
дс 1 1 ‘
Из (21) по методу наименьших квадратов получим следующую систему уравнений, из которой легко получить параметры а, Ь, с и вычислить оптимальную емкость батареи по формуле (20).
а^ х4 Ь^ х х2 = £ ухг
а2 х3 х2 х = 2 Ух
а^ х2 х сп = 2 у
(22)
,=1
1823
Расчет статической тяги воздушного винта. Расчет статической тяги воздушного винта в зависимости от его шага, диаметра и числа оборотов актуален не только для аппаратов мультироторного типа, но и для самолетов и вертолетов. Для аппаратов мультиротор-ного типа такой расчет имеет еще большую актуальность, т. к. обычно они пребывают в статическом режиме, т. е. в режиме «висения» значительную часть общего времени полета.
Расчетное уравнение легко получить из формулы (5) при k = 1:
F = nP-^i]ef [N].
(23)
Здесь п . – коэффициент эффективности воздушного винта. Обычно этот коэффициент может изменяться в широком диапазоне: от 0,3 до 1. Поэтому перед применением формулы (23) обычно требуется уточнить его значение путем проведения нескольких экспериментальных замеров. Необходимо отметить, что существуют и другие зависимости для расчета статической тяги. Поэтому в этом разделе проведем их анализ на основе эмпирических данных, определим погрешности и области применимости.
Эмпирические данные замеров тяги винта в зависимости от частоты его вращения, диаметра и шага воздушного винта получены из [3]. В итоге получена таблица данных в MS Excel, содержащая 88 записей. Для ее обработки использовали специально разработанные программы аппроксимации функции трех переменных градиентным методом и методом покоординатного спуска. В этих программах пользователь может задавать вид функциональной зависимости, а коэффициенты получаются расчетным путем по методу наименьших квадратов с использованием таблицы эмпирических данных.
В первом случае использовали аппроксимацию, использующую разложение функции трех переменных в ряд Тейлора.
В общем случае искомая функция является функцией m переменных вида:
y = f{x1,x2,…,xm).
(24)
Таким образом, необходимо произвести по эмпирическим данным аппроксимацию функции (24) при m = 3.
Разложим функцию f уравнения (24) в ряд Тейлора. Введем дифференциальный оператор:
— £m=i (■
Лт)_ г(т)к
0 ) ах(кт)
(25)
Тогда разложение функции f в ряд Тейлора имеет вид:
где индекс 0 соответствует рабочей точке, а Rn(x1, x2, …, xn) – остаточный член разложения формулы Тейлора. Разложение в ряд Тейлора производится в окрестности рабочей точки.
1824
Анализ уравнения (26) позволяет сделать следующие выводы. Из-за наличия в знаменателе Ы. и ограниченности числителя удельный вклад компонент с большими k крайне незначителен. Поэтому в качестве аппроксимирующей зависимости может быть выбрана, например:
Y = а0 агхг а2х2 а3х3 а^х as*f a6*f.
(27)
Учитывая, что для практических расчетов удобно использовать несистемные единицы измерения, при использовании метода наименьших квадратов, градиентного метода, метода наискорейшего спуска и эмпирических данных [3] получена следующая формула:
Y = 0,97Xi – 0,77*2 – 0,564*з – 0,037*i 0,054*f 0,045х!,
(28)
где Y – тяга воздушного винта, кгс; x1 – число оборотов воздушного винта, тыс. об./мин.; X2 – диаметр воздушного винта, дюйм; xз – шаг воздушного винта, дюйм; коэффициенты уравнения (28) – размерные величины. Коэффициент а0 уравнения (27) получился равным нулю, т. к. очевидно, что тяга воздушного винта равна нулю, если число оборотов, диаметр или шаг принимают нулевые значения. Отметим также, что величина тяги воздушного винта по уравнению (28) очень чувствительна к значениям коэффициентов при вторых степенях. Поскольку в уравнении (28) указаны не все значащие цифры, при необходимости точного расчета эти коэффициенты можно уточнить у авторов статьи.
Мы пробовали использовать также и другую формулу для аппроксимации указанных величин:
Y = —0,0055*1 0,0296зс| – 0,0141*|,
(29)
где Y – тяга воздушного винта, кгс; x1 – число оборотов воздушного винта, тыс. об./мин.; X2 – диаметр воздушного винта, дюйм; xз – шаг воздушного винта, дюйм; коэффициенты уравнения – размерные величины.
Сравнение наших зависимостей (23), (28), (29) и уравнения, приведенного в [3], проводили на основе эмпирических данных [3]. При этом рассчитывали коэффициенты корреляции измеренных и вычисленных по уравнениям сил статической тяги. Данные зависимости приведены на рис. 3-6.
Так, наилучшее описание эмпирических данных получено по формуле (28) (рис. 3). Коэффициент парной корреляции для этого случая составил г = 0,98 при средней относительной погрешности в 3,8 %. Для уравнения (23) значение коэффициента парной корреляции составило г = 0,89 при средней относительной погрешности в 15 % (рис. 4).
Для уравнения (29) и уравнения, приведенного в [3], коэффициенты корреляций значительно ниже, соответственно погрешность больше (рис. 5-6).
Таким образом, уравнения (23) и (28) могут быть использованы для расчета статической тяги со средней относительной погрешностью менее 15 %. Преимущество, однако, имеет формула (23), имеющая реальный физический смысл.
Пример 5. Рассчитать статическую тягу винта квадрокоптера «Фантом», если в одном из режимов полета винт диаметром 207 мм и шагом 100 мм совершает 10000 об./мин.
35
N
О
¡1 3(1
>
—
4
о 75
Н
Р1
а 2и
ж
г 15
?
О 1С
8 5
)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
I !:Г Ш: I I.| тяга винта, эмпирические данные
/
х С 5
А )
I
_ О,,/ о
1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 3 5 4
Статическая тяга Бинта, кг, Эмпирические данные
Рис. 3. Корреляция статической тяги (кг), полученной в ходе измерений (по оси абсцисс) и по расчетной формуле (28) в зависимости от числа оборотов воздушного винта, его диаметра и шага (по оси ординат)
Рис. 5. Корреляция статической тяги (кг), полученной в ходе измерений (по оси абсцисс) и по расчетной формуле (29) в зависимости от числа оборотов воздушного винта, его диаметра и шага (по оси ординат)
у
У У
о О о
с о Ос
йС £>0о
/
/
/
/ с 3
4 о с
Уоо
Статическая тлга винта, гг. эмпирические данные
0 5 10 15 20 25 30 35 40
Статическая тяга винта, кг, Эмпирические данные
Рис. 4. Корреляция статической тяги (кг), полученной в ходе измерений (по оси абсцисс) и по расчетной формуле (23) в зависимости от числа оборотов воздушного винта, его диаметра и шага (по оси ординат)
Рис. 6. Корреляция статической тяги (кг), полученной в ходе измерений (по оси абсцисс) и по расчетной из источника [3] в зависимости от числа оборотов воздушного винта, его диаметра и шага (по оси ординат)
Используем сначала уравнение (23). Перевод единиц измерения в систему СИ: получаем г = 0,1035 т, к = 0,1 т, п = 166,7 8″1. Подставляя полученные значения, а также значения параметров (см. пример 1), получим, что статическая тяга F = 11 [Ы], т. е. около 1,1 кгс.
Теперь используем формулу (28). Перевод единиц измерения в несистемные единицы: х1 – число оборотов воздушного винта – 10 тыс. об./мин; х2 – диаметр воздушного винта – 8,15 дюйм; х3 – шаг воздушного винта – 3,94 дюйм. По формуле (28) получаем статическую тягу У = 1,7 кгс. Реальное значение, чуть больше 1 кгс, т. е. формула (23) дает близкое значение. Необ-
ходимо отметить, что формула (28) получена при числе оборотов воздушного винта от 5200 до 18100 об./мин. Поэтому использование ее в других диапазонах будет некорректным.
Некоторые задачи маршрутизации полета муль-тироторного летательного аппарата. В ходе эксплуатации летательного аппарата он должен решать некоторые задачи, также требующие математической формализации и нахождения алгоритмов оптимальных решений. Такие алгоритмы будут темой отдельной статьи. Здесь же перечислим некоторые из задач, представляющих наибольший практический интерес.
1825
Так, на наш взгляд, наиболее важными задачами являются: 3Б задача коммивояжера, задача расчета циклограммы работы нескольких аппаратов и их работа в группе – «стае», когда один из аппаратов выполняет функцию супервайзера.
Наиболее интересной является трехмерная (поэтому 3D) задача коммивояжера. Дело в том, что аппараты в ходе своей эксплуатации должны выполнять некоторые задачи, связанные с обходом маршрута, точки которого могут быть расположены на разной высоте с различным удалением от точки старта.
При этом затраты энергии на перемещение по вертикали снизу вверх в 4-5 раз превышают затраты энергии на горизонтальный полет, а последние в свою очередь соизмеримы по энергозатратам с перемещением по вертикали сверху вниз и висением. Задача ослож-ня-ется еще и тем, что в каждой точке аппарат должен совершить какой-либо маневр (например, разворот), что также требует определенных энергозатрат. Таким образом, возникает новая постановка задачи коммивояжера, связанная, с одной стороны, с различными энергозатратами при перемещении аппарата по вертикали и горизонтали, а с другой – с зависимостью от направления при перемещении по вертикали.
ЭМПИРИЧЕСКИЕ ДАННЫЕ И ЗАВИСИМОСТИ, ПОЛЕЗНЫЕ ДЛЯ ПРОЕКТИРОВАНИЯ МУЛЬТИРОТОРНЫХ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ
На следующих рисунках приведены эмпирические данные и зависимости, которые могут оказаться полезными для расчетов технических характеристик муль-тироторных летательных аппаратов.
Так, на рис. 7-10 приведены массы трехбаночных ЫРо аккумуляторных батарей с током разряда до 30С (рис. 7) и более 30С (рис. 8) в зависимости от емкости батареи. Данные получены из источника [1]. В ходе аппроксимации зависимостей получены уравнения:
Рис. 8. Зависимость массы ЫРо батареи (38, 31-70С) от ее емкости
Рис. 9. Зависимость стоимости ЫРо батареи (38, 0-30С) от ее емкости
Мьм = 0,07С [кй,
(30)
где Mbat – масса аккумуляторной батареи [к§], С – емкость батареи [АЬ], 0,07- размерный коэффициент [к§. АЬ-1]. Уравнение (30) получено для трехбаночных ЫРо аккумуляторных батарей с током разряда до 30С. Оно справедливо при емкости батарей от 0,5 до 20 АЬ.
Рис. 10. Зависимость стоимости ЫРо батареи (38, 31-70С) от ее емкости
Средняя относительная погрешность аппроксимации данных уравнением (30) не превышает 7 %.
Для батарей с током разряда от 30 до 70С получено уравнение:
Рис. 7. Зависимость массы ЫРо батареи (38, 0-30С) от ее емкости
М„м = 0,082С М,
(31)
1826
900
300
700
м 600
& 500 (5
? 400 §
2 300 200 100 0
О 2000 4000 6000 3000 10000
Емкость батареи (i S)r ni A h
Рис. 11. Масса батарей (3S) в зависимости от их емкости для батарей (до 30С) – 2 и 31-70С – 1
ао
70
so
1
2
40 З’О 20 l’O
1 /
2
О 2000 4000 6000 3000 10000
Емкость бэтэреи (.tS). niAh
Рис. 12. Стоимость батарей (3 S) в зависимости от их емкости для батарей (до 30С) – 2 и 31-70С – 1
где 0,082 – размерный коэффициент [kg’ Ah-1]. Это уравнение справедливо при емкости батарей от 0,5 до 20 Ah. Средняя относительная погрешность аппроксимации данных уравнением (31) не превышает 6 %.
На рис. 9-10 приведены зависимости стоимости (Euro) для этих же типов аккумуляторных батарей. Также показаны аппроксимирующие зависимости и квадраты коэффициентов корреляции.
На рис. 11-12 приведено сравнение массы и стоимости различных типов батарей в зависимости от их емкости, выполненное на основе аппроксимаций, полученных по данным рис. 7-10.
На рис. 13-14 показаны зависимости числа оборотов двигателя четырехроторного летательного аппарата «Фантом» (винт 207×100 мм), находящегося в нормальных условиях в статическом режиме от его полной массы.
s
I
ai
О С9- CU
j
у
У1
/
i
0,2 0,4 0,6 0,3 1 1,2
Масса аппарата, kg
1,4
1,6
Рис. 13. Зависимость частоты вращения воздушных винтов квадрокоптера «Фантом» от полетной массы аппарата. Аппроксимация по уравнению (6)
аооо
i 7000 s
s
■% 6000 ■
I 5000
s :
g- 4000
m i
3000 2000
А
— у – 509: R2 = 0.4 sp< L9 o/Á
j
О /
/
/
/
0 0,5 1 1,5 2
Полная масса arrapara, kg
Рис. 14. Зависимость числа оборотов двигателя четырехро-торного летательного аппарата (винт 207×100 мм), находящегося в нормальных условиях в статическом режиме от его полной массы. Линейная аппроксимация
ВЫВОДЫ
Таким образом, в данной работе получены некоторые математические модели, позволяющие осуществлять инженерные и экономические расчеты мультиро-торных летательных аппаратов.
Для их успешного использования данную систему необходимо дополнить уравнением, связывающим мощность двигателя и частоту вращения воздушного винта с известными параметрами.
Ясно также, что для расчета основных параметров должна быть разработана соответствующая экспертная информационная система.
1827
ЛИТЕРАТУРА
1. Hobbyking: Radio Control Planes, Helicopters, Cars, Boats, FPV and Quadcopters. URL: http://www.hobbyking.com (accessed:: 24.08.2023).
2. Wolfram|Alpha: Computational Knowledge Engine. URL: http:// www.wolframalpha.com (accessed: 22.08.2023).
3. Тяга двигателя – ДВС: статистика. URL: http://forum.rcdesign. ru/f5/thread24498.html. (accessed: 22.08.2023).
БЛАГОДАРНОСТИ: Авторы выражают благодарность М.С. Чвановой, В.М. Передкову, А.Н. Лосеву за финансирование покупки комплектующих мультиро-торных аппаратов, а также за предоставленную воз-
можность проведения на этой базе значительного числа экспериментов.
Поступила в редакцию 24 ноября 2023 г.
Arzamastsev A.A., Kryuchkov A.A. MATHEMATICAL MODELS FOR ENGINEERING CALCULATIONS OF AIR-CRAFTS OF MULTI-ROTOR TYPE (PART 1)
Mathematical models, which can be useful for designing of multi-rotor aircraft, are considered. These include static thrust of the propeller, the mass of the entire apparatus and additional equipment, flight time, some economic indicators.
Key words: mathematical model; multi-rotor aircraft; qua-drocopter; calculation of parameters; information system.
Арзамасцев Александр Анатольевич, Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, доктор технических наук, профессор, зав. кафедрой компьютерного и математического моделирования, e-mail: [email protected]
Arzamastsev Alexander Anatolyevich, Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Tambov, Russian Federation, Doctor of Technics, Professor, Head of Computer and Mathematical Simulation Department, e-mail: [email protected]
Крючков Алексей Александрович, Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, аспирант, кафедра компьютерного и математического моделирования, e-mail: [email protected]
Kryuchkov Aleksey Aleksandrovich, Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Tambov, Russian Federation, Post-graduate Student, Computer and Mathematical Simulation Department, e-mail: [email protected]
1828
Простой расчет и изготовление самодельных винтов…
Наверное каждый сталкивался с ситуацией, когда требуемого винта или нет в продаже, или винты нужны уже завтра, а посылка где-то застряла… Тогда в голову приходит совершенно разумный выход – а не сделать ли мне винт самому?
Обычно в этом случае есть только одна причина, которая останавливает здоровую идею: как получить винт с заданными характеристиками?
На самом деле все достаточно просто – для этого не требуется ни сложных расчетов, ни сверхсложного оборудования. Как обычно достаточно немного здравого смысла, карандаша, линейки, знания школьной геометрии и немного прямых рук.
В данной статье пойдет речь именно об этом: как правильно рассчитать геометрию винта с заданными параметрами и как его изготовить. Времени обычно надо не так уж и много – 1-2 часа на графический расчет 2-3 часа на изготовление самого винта.
Рис 1. Теория винта. Шаг винта.
Аналогичная ситуация возникает, если нужны два винта разного направления вращения, или если нам понадобились 3-4 лопастные винты. Все это решаемо при наличии разумного подхода и простейших инструментов.
Посмотрим внимательно на рис 1. Что мы там видим? А вот что:
– Винт радиусом R, за один оборот проходит в воздухе расстояние H. R – это радиус винта (от оси вращения до его окончания), Н – это шаг винта, если он не проскальзывает в воздухе, а ввинчивается в него подобно шурупу в дереве. Это собственно два основных параметра вина. D = 2хR и H- шаг винта.
Обычно человек хорошо знает, какой именно винт ему нужен для модели… Если нет – то это тема для отдельного разговора. Пока будем предполагать, что мы хорошо представляем какой винт нам нужен: т.е. мы знаем параметры D и Н, или R и Н…
Поучить геометрические размеры требуемого винта, если мы знаем R и Н винта – проще всего геометрическим расчетом. Смотрим на рис 2. По горизонтали – откладываем в каком-то масштабе (у меня (2:1 для большей точности) радиус винта. По вертикали – расстояние, которое пройдет винт за один оборот без проскальзывания – Н/2хPi, где Pi – это известное еще со школьных лет число 3.14….
Рис 2. Определение угла наклона профиля винта.
Почему именно так а никак иначе – я доказывать здесь не стану. Те кто хорошо учил геометрию в школе – те сразу поймут, а остальным надо или заново перечитать учебники школы или задать свои вопросы в процессе обсуждения. Немного ниже нарисован боковой профиль винта. Он собственно выбран исключительно из моего опыта изготовления простых винтов. Каждый имеет право выбрать его достаточно произвольно. Я выбрал толщину винта в комеле (около ступицы – 10 мм) и в конце – на масимальном радиусе – 2 мм. Цель данного геометрического расчета – получит правильные ширины винты на виде сверху. Т.е. получить геометрические размеры винта диаметром 150 мм и с шагом 100 мм… Это и записано справа вверху листа..
См. Рис 2. Для достижения поставленной цели мы проводим прямую от точки шага на вертикальной координате к требуемому сечению (линия 1). Я для начала выбрал сечение отстоящее от оси вращения на 37.5 мм = т.е. ровно на середине проектируемого винта. Согласно боковой проекции, толщина винта в этом месте – 6.5 мм. Переносим этот размер вверх(операция 2) и рисуем прямоугольник вокруг наклонной линии. Он (прямоугольник) дает нам ширину лопасти винта на виде сверху – 14 мм. Этот размет мы переносим вниз (операция 3) и получаем ширину винта в этом сечении…
Рис 2. Определение всех углов наклона во всех расчетных точках
Выполнив аналогичные построения для всех 6-ти сечений винта мы получим ширины винта на расстоянии 12.5, 25.0, 37.5, 50, 62.5 и 75 мм. Строить большее количество сечений можно, но особой точности это не добавит. В итоге на рис 2., обведя полученные ширины винта в шести точках, мы получим профиль винта на виде сверху.
Далее изготовляем шаблон винта из картона или любого другого (см рис 3.) плотного материала и переходим к изготовлению собственно требуемого винта (150х100 мм).
Берем заготовку из подходящей древесины и размечаем ее. Прежде всего придаем ей толщину и длину требуемого винта – 10 мм х 150 мм. Ширина заготовки должна быть чуть больше чем ширина винта в самом широком месте – 15 мм.
Рис 3. Шаблон и размеченная заготовка винта
Наносим разметку на боковой вид (толщина в комле – 10 мм и 2 мм на конце лопасти) и на виды сверху и снизу с помощью изготовленного шаблона.
Рис 4 Вид на размеченную заготовку сверху.
Рис 5 Вид заготовки сбоку и сверху
На рис 4-5 Вы видите размеченную заготовку. Первым делом с помощью напильника или ножа убираем лишнюю древесину на виде сбоку. То что должно получиться вы видите на рис 6. Если вы делаете винт из достаточно мягкой древесины(липа, бальса) то достаточно использовать модельный нож и шкурку, если же вам нужен винт из твердых пород вроде березы или бука, то лучше использовать драчевый напильник (с крупной насечкой) или мелкозубый рашпиль.
Рис 6. Балансирова заготовки
Сразу после придания заготовке правильного бокового профиля надо проделать балансировку заготовки. Я обычно делаю это так: ввинчиваю в центр вращения тонкое сверло (0.5-1.0 мм) и кладу сверлом на две вертикально стоящие опоры. В данном случае – это два одинковых стакана. (рис 6.).
Затем – сошкуриванием – добиваюсь одиакового веса обеих будующих лопастей.
Рис 7. Разметка выборки передней части
После того как вид сбоку отпрофилирован переходим к разметке выброк для получения нужного профиля ловастей. На виде сверху – спереди (мы делаем винт нормального вращения – против часовой стрелки) намечаем линию проходящую через 2/3 ширины винта. См. рис 7.
Рис 8. Разметка выборки задней части…
На виде снизу(сзади) проводим линии отстоящие от края винта примерно на 1 мм. Нижняя часть винта как раз задает шаг (или угол наклона сечения)…
Рис 9 Выбранная задняя часть винта.
Затем начинаем убирать лишнюю дрвесину ножом или напильником начиная с нижней (задней) части винта согласно сделанной разметке. Убрав все сзади (снизу), отшкуриваем сначала крупной(120-160), а потом мелкой шкуркой заднюю часть винта…
Рис 10. Выбранная передняя часть винта
Затем то же самое повторяем для передней части винта. См. рис 10…
Убедившись, что вся лишняя древесина убрана, тщательно отшкуриваем весь винт для придания ему требуемого профиля – аналогичного профилю крыла, т.е. скругленная передняя кромка, максимальная толщина примерно 30% от ширины сечения и острая задняя кромка. Неполохо в процессе придания этого профиля все время контролировать балансировку обрабатываемого винта как было показано на рис 6.
После того как обе лопасти приобрели нужную форму и профиль, а также балансировку, можно переходить к заключительному этапу – покраске и лакировке. См. рис 11.
Рис 11. Балансировка отлакированного винта.
Обычно я окрашиваю изготовленный винт в традиционный черный цвет, а затем покрываю 2-4 слоями лака. Как правило я использую классический эмалит. Быстро сохнет и легко шлифуется. Во время окрвшивания и лакировки не стоит забывать о балансировке. См. рис 11.
Полученные таким образов винты, по моему мнению ничуть не хуже покупных пластиковых винтов, которые обычно тоже нуждаются в дополнительной балансировке. Если же вас больше устраивают винты из угле- или стекло- пластика, то используя изготовленный по описанной выше методе винт в качестве мастер-модели, вы можете изготовить формы для винтов из стекло- углепластика….
Совершенно аналогичным способом вы легко сможете сделать винт любого, нужного Вам диаметра и шага, а также винт обратного вращения – по часовой стрелке.
Более того, рассчитав и изготовив одну лопасть двухлопастного винта, вы сможете изготовить по ней формы для трех или 4-х лопастных винтов из стекло-угле-пластика, но это уже тема для отдельной статьи…
Соосная компоновка винтов вертолёта: плюсы и минусы
Соосная схема винтов вертолета в современном вертолетостроении применяется не часто. Единственные вертолеты с такой схемой винтов, находящиеся в серийном производстве – российские Ка, в том числе знаменитый Ка-52 «Аллигатор». Но чем объясняется редкость использования соосной схемы винтов?
Как известно, наиболее распространенной в мировом и отечественном вертолетостроении является схема с одним несущим винтом и открытым рулевым винтом, который предназначается для компенсации реактивного момента от несущего винта. Ведь тот «закручивает» вертолет в направлении, противоположном вращению несущего винта.
Безусловным достоинством рулевой схемы является конструктивная простота, сравнительно невысокие затраты на обслуживание и ремонтные работы. Но лишаясь хвостового винта, вертолет теряет управление и падает.
Соосная схема винтов распространена меньше, но ее применение позволяет сделать вертолет более живучим и, соответственно, более приспособленным к выполнению боевых задач. Интересно, что использование соосной схемы – результат работы советских и российских конструкторов.
Первый отечественный вертолет с соосной схемой был представлен в 1948 году. Это был Ка-8 «Иркутянин», выпущенный конструкторским бюро Камова всего в трех экземплярах. Затем выпустили Ка-10 и Ка-15. Последний вертолет стал первым продуктом КБ Камова, поступившим в серийное производство. Так в Советском Союзе начался серийный выпуск вертолетов с соосной схемой винтов.
В отличие от классической одновинтовой схемы, реализовать на практике соосную схему куда сложнее. Эксперты называют ее одним из самых выдающихся достижений отечественного вертолетостроения. Но сложность в конструировании и исполнении компенсируется несомненными преимуществами соосной схемы.
Во-первых, соосные вертолеты обладают меньшими габаритами, высокой компактностью, что увеличивает угловые скорости и делает машину более маневренной. В частности, такой вертолет способен выполнять фигуры «воронка», «косая петля», которые не могут выполнять вертолеты классической схемы с рулевым винтом.
Во-вторых, вертолеты соосной схемы обладают большей боевой живучестью за счет отсутствия хвостового винта с его редуктором и приводами. При этом вертолету проще маневрировать вблизи земли или иной поверхности, на которую он может сесть.
В-третьих, у вертолетов соосной схемы выше коэффициент весовой нагрузки, то есть соотношение полезной нагрузки и общей полетной массы.
Такие характеристики соосных вертолетов обусловили специфику их применения. Вертолеты соосной схемы куда более эффективны в качестве вертолетов палубной авиации, их можно использовать в высокогорных районах с их сложными метеорологическими условиями.
В то же время, у вертолетов соосной схемы, при всех их неоспоримых достоинствах, есть и определенные минусы. Самый существенный минус для их серийного производства – высокая стоимость. По оценке экспертов, Ми-28 уступает соосному Ка-52 практически по всем характеристикам, но стоимость последнего значительно выше, причем речь идет о миллионах долларов.
Также эксперты отмечают сложность системы управления соосным вертолетом, риск значительных вибраций, недостаточную путевую устойчивость, опасность столкновения вращающихся в противоположных направлениях лопастей.
В настоящее время главным современным ударным боевым вертолетом соосной схемы является Ка-52 «Аллигатор». Эти боевые машины были успешно проверены в Сирии, хорошо показав себя в необычном для России климате. Вертолеты Ка-52 находятся в составе как армейской авиации, так и палубной авиации ВМФ России.
Узел лопасти
Воздушные винты В-530-Д11 и В-530-Д35 изготовляют с деревянными лопастями (Рис. 14), состоящими из двух частей: металлического стакана и деревянного пера. Деревянное перо лопасти выполнено из сосновых досок, а комель лопасти, входящий в металлический стакан, из досок дельта-древесины (Рис. 15), способной выдержать растягивающие и изгибающие нагрузки, возникающие при работе винта на двигателе.
Сосновые доски подбирают и склеивают из планок шириной 20- 70 мм, после чего стыкуют по длине с досками дельта-древесины
длинным усовым соединением. Длина усового соединения по отношению к толщине склеиваемых досок равна 1 20 Склейка сосновых планок в доски и усовое соединение производится смоляным клеем ВИАМ БЗ
Для увеличения прочности прикомлевой части пера лопасти и площади склейки усового соединения дельта древесины с сосной часть дельта древесины выходит из металлического стакана в перо лопасти Комель лопасти имеет специальную коническую резьбу, на которой она завертывается в металлический стакан с особой затвердевающей массой, предназначенной для уплотнения резьбового со единения и устранения зазоров
Рис. 14 Лопасть
1-стакан 2- перо деревянное.
Рис. 15 Комель лопасти
1-дельта древесина, 2-сосна3-резиновое уплотни тельное кольцо, 4-стакан5-болт,6-шайба торцовая, 7- штифт
Рис. 16 Покрытие лопасти
1-оковка, 2- лакокрасочное покрытие; 3- целлулоидное покрытие, 4- льняное полотно, 5-фанеровка;6-сосна, 7-дельта-древесина; 8- стакан.
Лопасть ввертывают в металлический стакан после заливки в него специальной массы, излишки которой вытесняются при завертывании лопасти через канавки, прорезанные на комле лопасти. Для предохранения затвердевающей массы от выкрашивания и попадания внутрь масла, воды и пр. со стороны пера лопасти между буртом стакана и комлем лопасти прокладывают резиновое уплотнительное кольцо 3 Для предохранения уплотнительного кольца от выпадания бурт стакана лопасти завальцовывают
Стакан лопасти снаружи имеет резьбу в соответствии с резьбой переходного стакана На стакане выбита стрелка для установки лопастей под определенными углами при сборке винта
При установке лопасти в переходной стакан выбитая на лопастном стакане стрелка должна совпасть со средним делением шкалы на торце переходного стакана.
В лопасти винтов установлены торцовые шайбы, закрепленные четырьмя болтами, предназначенные для уменьшения качки лопасти в металлическом стакане, возникающей при низких температурах воздуха вследствие различных коэффициентов линейного расширения металла и дельта-древесины. Для предохранения от проворачивания торцовую шайбу контрят штифтами.
Для увеличения прочности и жесткости пера лопасти ее обработанную поверхность оклеивают двумя слоями березовой авиационной фанеры. Фанеру приклеивают к лопасти под углом 45° к оси лопасти при помощи специальных прессов, обеспечивающих плотное прилегание фанеры к лопасти.
Для предохранения от воздействия атмосферных условий на фанерованную лопасть наносят ряд последовательно накладываемых покрытий общей толщиной 0,8-1,5 мм.
Покрытие лопасти (Рис. 16) состоит из:
- льняного полотна рединка марки АЛКР;
- целлулоидной пленки толщиной 0,8-1 мм;
- слоя нитрошпаклевки и цветной нитрокраски.
Льняное полотно приклеивают к лопасти целлулоидным клеем и притирают деревянным молотком.
Целлулоид употребляют листовой технический толщиной 0,8-1 мм, предварительно размягченный в 50% смеси ацетона с растворителем РДВ. Целлулоид накладывают на лопасть в размягченном состоянии и, чтобы он проник в поры древесины, его несколько часов обжимают в резиновых мешках под действием атмосферного давления (вакуум-процесс).
Твердое целлулоидное покрытие наносят также при помощи кисти. В этом случае целлулоидный клей наносят на оклеенную полотном лопасть кистью 6-8 раз до получения надлежащей толщины покрытия с промежуточными выдержками для сушки клея.
Для нанесения твердого целлулоидного покрытия кистью приготовляют целлулоидный клей из мелких обрезков технического целлулоида. Мелкие обрезки (отходы) целлулоида помещают в закрытый сосуд и заливают 50% ной смесью ацетона с растворителем РДВ. Эту массу выдерживают 24 часа, после чего растворенную массу размешивают и наносят кистью на лопасть.
Рис. 17 Лопасть
Переднюю кромку лопасти, более всего подвергающуюся повреждению, оковывают листовой латунью толщиной 0,6-0,8 мм, разрезанной на отдельные секции.
Оковку к лопасти крепят медными заклепками и шурупами, после чего их головки опаивают припоем ПОС-40 и зачищают напильником и наждачной шкуркой. Далее лопасти окрашивают нитрокраской в черный, а их концы в желтый или белый цвет.
С рабочей стороны лопасти наносят желтую или белую полоску для определения положения контрольного сечения. Чертеж лопасти с геометрическими размерами указан на Рис. 17.
