Самодельные квадроциклы полное описание фото видео

Ортогональное преобразование квадратичной формы

На этом уроке мы продолжим приводить квадратичную форму(1-е занятие) к каноническому виду(2-е занятие), и помимо нового метода приведения, рассмотрим геометрический смысл темы и важное практическое приложение – о том, как привести линию второго порядка кканоническому виду с помощью ортогонального преобразования квадратичной формы.

Сначала расскажу суть метода в общем виде. Ничего страшного, если что-то будет не понятно – всё разберём на конкретных примерах.

Любую квадратичную формуСамодельные квадроциклы полное описание фото видео с действительными(как мы оговорили) коэффициентами Самодельные квадроциклы полное описание фото видео можно привести к каноническому виду:

Самодельные квадроциклы полное описание фото видео, где Самодельные квадроциклы полное описание фото видео – собственные числа матрицыСамодельные квадроциклы полное описание фото видео (тоже действительные).

Такое приведение осуществляется с помощью линейного преобразования (замен):
Самодельные квадроциклы полное описание фото видео, коэффициенты которого (по столбцам!) – есть координаты соответствующих ортонормированныхсобственных векторов матрицы Самодельные квадроциклы полное описание фото видео:

Самодельные квадроциклы полное описание фото видео

Данные векторы нормированы (имеют единичную длину) и попарно ортогональны (грубо говоря, перпендикулярны); отсюда и название – метод ортогонального преобразования.

Напоминаю распространённую матричную записьСамодельные квадроциклы полное описание фото видео, где:
Самодельные квадроциклы полное описание фото видео и Самодельные квадроциклы полное описание фото видео  – матрица ортогонального преобразования.

Посмотрим, как работает метод в простейшем случае:

Пример 10

Это не опечатка – пример уже десятый!

Привести квадратичную форму к каноническому виду методом ортогонального преобразования
Самодельные квадроциклы полное описание фото видео

Найти матрицу соответствующего преобразования.

Решение: запишем матрицу формыСамодельные квадроциклы полное описание фото видео и из уравнения Самодельные квадроциклы полное описание фото видео найдём её собственные числа:
Самодельные квадроциклы полное описание фото видео

Очевидно, что Самодельные квадроциклы полное описание фото видео, таким образом:

Самодельные квадроциклы полное описание фото видео – квадратичная форма Самодельные квадроциклы полное описание фото видео в каноническом виде.

Найдём соответствующее линейное преобразование. Для этого нужно отыскать собственные векторы матрицы Самодельные квадроциклы полное описание фото видео:

1) Если Самодельные квадроциклы полное описание фото видео, то получаем систему линейных уравнений:
Самодельные квадроциклы полное описание фото видео, откуда следует, что Самодельные квадроциклы полное описание фото видео.

Полагая Самодельные квадроциклы полное описание фото видео, запишем первый собственный вектор: Самодельные квадроциклы полное описание фото видео – координаты удобно записывать именно в столбец! Сразу вычислим длину вектора (скоро потребуется):
Самодельные квадроциклы полное описание фото видео

2) Если Самодельные квадроциклы полное описание фото видео, то имеем систему:
Самодельные квадроциклы полное описание фото видео, из которой следует, что Самодельные квадроциклы полное описание фото видео

Пусть Самодельные квадроциклы полное описание фото видео, тогда Самодельные квадроциклы полное описание фото видео и Самодельные квадроциклы полное описание фото видео – второй собственный вектор. Его длина:
Самодельные квадроциклы полное описание фото видео

Если матрица формы имеет различные собственные числа, то соответствующие собственные векторы попарно ортогональны. Убедимся в справедливости этого утверждения для нашей пары, вычислив их скалярное произведение:
Самодельные квадроциклы полное описание фото видео

Поскольку длины векторов Самодельные квадроциклы полное описание фото видео не равны единице, то их нужно нормировать, т.е. найти коллинеарные им векторы Самодельные квадроциклы полное описание фото видео единичной длины. Для этого каждую координату собственного вектора делим на его длину:

– координаты Самодельные квадроциклы полное описание фото видео на  Самодельные квадроциклы полное описание фото видео;
– координаты Самодельные квадроциклы полное описание фото видео на  Самодельные квадроциклы полное описание фото видео.

Такую задачу мы решали в курсе аналитической геометрии на уроке… да, на уроке Уравнение плоскости(Пример 5), но сейчас речь идёт, подчёркиваю, о векторах в их алгебраическом смысле.

Проверим, что длины полученных векторов действительно равны единице:
Самодельные квадроциклы полное описание фото видео, ч.т.п.

Теперь последовательно помещаем координаты векторов Самодельные квадроциклы полное описание фото видео в столбцы матрицы: Самодельные квадроциклы полное описание фото видео – это и есть матрица выполненного ортогонального преобразования, в строках которой находятся «игрековые» коэффициенты линейных замен: Самодельные квадроциклы полное описание фото видео.

Ответ: Самодельные квадроциклы полное описание фото видео, Самодельные квадроциклы полное описание фото видео

Полученный результат можно проверить:

1) непосредственной подстановкой Самодельные квадроциклы полное описание фото видео в форму Самодельные квадроциклы полное описание фото видео:
Самодельные квадроциклы полное описание фото видео

2) либо с помощью знакомой формулы:
Самодельные квадроциклы полное описание фото видео – получив «каноничную» матрицу.

Справка: матрица ортогонального преобразования квадратичной формы относится к классу так называемых ортогональных матриц(Вики), которые встречаются не только в этой теме. Ортогональная матрица обладает рядом интересных свойств, в частности, её определитель равен 1 либо –1, а транспонированная матрица совпадает с обратной матрицей.

А сейчас обратим внимание на следующий момент: канонический вид Самодельные квадроциклы полное описание фото видео и алгоритм решения никак не регламентируют порядок расположения собственных чисел, и поэтому форму можно привести к такому виду не единственным способом. Так, если в прорешанном примере перечислить собственные числа в другом порядке: Самодельные квадроциклы полное описание фото видео (никто ж не запрещает), то получится другой, тоже канонический вид Самодельные квадроциклы полное описание фото видео. При этом нормированные собственные векторы меняются местами:  Самодельные квадроциклы полное описание фото видео и матрица линейного преобразования будет другой: Самодельные квадроциклы полное описание фото видео. В строках этой матрицы находятся «игрековые» коэффициенты соответствующих линейных замен:
Самодельные квадроциклы полное описание фото видео

Желающие могут выполнить прямую подстановку в  Самодельные квадроциклы полное описание фото видео и «на выходе» получить Самодельные квадроциклы полное описание фото видео.

Теперь рассмотрим эту же квадратичную форму в геометрической «ипостаси». Для понимания следующего примера нужно ориентироваться (хотя бы в общих чертах) в линиях второго порядка:

Пример 11

С помощью теории квадратичных форм привести уравнение линии второго порядка к каноническому виду

Самодельные квадроциклы полное описание фото видео

Иными словами, нам нужно выяснить, какую линию задаёт это уравнение (эллипс, гиперболу, параболу или какую-то другую) и записать его в каноническом виде. В курсе аналитической геометрии мы рассмотрели «традиционные» методы приведения, и вот сейчас познакомимся с ещё одним способом.

Начало решения практически совпадает с предыдущей задачей, с той поправкой, что там фигурировали переменные Самодельные квадроциклы полное описание фото видео и Самодельные квадроциклы полное описание фото видео, а в геометрии обычно используют Самодельные квадроциклы полное описание фото видео («старые» переменные) и Самодельные квадроциклы полное описание фото видео («новые» переменные – штрихи здесь не имеют никакого отношения к производным).

Итак, на первом шаге рассматриваем квадратичную форму Самодельные квадроциклы полное описание фото видео, записываем её матрицу и находим её собственные числа. После чего возникает недавний вопрос – в каком порядке их следует перечислить: Самодельные квадроциклы полное описание фото видео или Самодельные квадроциклы полное описание фото видео? Когда мы просто приводили форму к каноническому виду, это не имело значения. Но вот тут имеет.

Смотрите про коптеры:  Квадрокоптер Walkera AiBao 4К FPV дополненная реальность

В первом случае у нас получится уравнение Самодельные квадроциклы полное описание фото видео, во втором: Самодельные квадроциклы полное описание фото видео. Оба уравнения задают гиперболу, однако канонический вид имеет только второе уравнение. Таким образом, нас устраивает «комплект» Самодельные квадроциклы полное описание фото видео, но НЕ ФАКТ, что подойдет найденное преобразование Самодельные квадроциклы полное описание фото видео.

Дело в том, что ортонормированные собственные векторы можно выбрать ещё тремя способами: Самодельные квадроциклы полное описание фото видео или Самодельные квадроциклы полное описание фото видео, и если бы мы просто приводили форму к каноническому виду, то опять же – нас устроил бы любой из 4 вариантов. Но не сейчас.

По той причине, что линейные преобразования должны соответствовать формулам формулами поворотаСамодельные квадроциклы полное описание фото видео декартовой системы координатСамодельные квадроциклы полное описание фото видео на угол «фи». Этот факт справедлив только в том случае, если определитель матрицы преобразования равен «плюс» единице: Самодельные квадроциклы полное описание фото видео.

Проверяем: Самодельные квадроциклы полное описание фото видео, таким образом, нам повезло, и преобразование Самодельные квадроциклы полное описание фото видео действительно подходит под шаблон Самодельные квадроциклы полное описание фото видео.

Значениям Самодельные квадроциклы полное описание фото видео соответствует табличный угол Самодельные квадроциклы полное описание фото видео, но привычнее, конечно, говорить об угле Самодельные квадроциклы полное описание фото видео.

Таким образом, поворачивая систему Самодельные квадроциклы полное описание фото видео на 45 градусов по часовой стрелке, мы переходим от уравнения Самодельные квадроциклы полное описание фото видео в старой системе координат к каноническому уравнению Самодельные квадроциклы полное описание фото видео в новой системе координат Самодельные квадроциклы полное описание фото видео:
Самодельные квадроциклы полное описание фото видео
Наклоните голову вправо на 45 градусов и убедитесь, что в «красной» системе координат гипербола действительно имеет канонический вид.

Кроме того, нас устроило бы ещё одно преобразование: Самодельные квадроциклы полное описание фото видео. Легко видеть, что его определитель равен «плюс» единице и формулам Самодельные квадроциклы полное описание фото видео соответствует поворот системы Самодельные квадроциклы полное описание фото видео на Самодельные квадроциклы полное описание фото видео против часовой стрелки. В этом случае оси Самодельные квадроциклы полное описание фото видео будут «смотреть» в противоположные стороны и гипербола тоже окажется в каноническом положении. Желающие могут повернуть голову влево на 135 градусов и приобщиться к прекрасному 🙂

Ответ: Самодельные квадроциклы полное описание фото видео

Что произойдёт, если квадратичную форму Самодельные квадроциклы полное описание фото видео приводить к каноническому виду методом Лагранжа? В общем случае будут получаться другие гиперболы. Но гиперболы! И вообще – любое невырожденное линейное преобразование данной формы будет приводить нас к уравнениям гипербол, и только к ним – как я отмечал в конце предыдущего урока, такое преобразование не меняет СУЩНОСТИ формы.

Таким образом, метод Лагранжа – это «быстрый» способ узнать, что это за линия, но вот сохранение её размеров нам гарантирует лишь ортогональное преобразование.

Ортогональное линейное преобразование переводит ортонормированный базис в другой ортонормированный базис и сохраняет размеры объектов. Это справедливо для пространства любой размерности, и, кроме того, применимо не только к квадратичным формам – ортогональному преобразованию(Вики) посвящена отдельная тема высшей алгебры, и интересующихся я отсылаю к соответствующим источникам информации.

Следующий пример для самостоятельного решения:

Пример 12

Привести квадратичную форму к каноническому виду методом ортогонального преобразования.
Самодельные квадроциклы полное описание фото видео

Решить задачу двумя способами (переставляя собственные числа) и записать матрицы соответствующих линейных преобразований.

После чего мы продолжим банкет родственной геометрической задачей:

Пример 13

Самодельные квадроциклы полное описание фото видео

Данную линию мы уже приводили к каноническому виду(Пример 1) и сейчас сделаем то же самое, используя новый метод.

Надеюсь все прорешали предыдущее задание, поскольку начало решения будет совпадать с точностью до обозначений, и нам осталось выбрать подходящее преобразование:
Самодельные квадроциклы полное описание фото видео
или
Самодельные квадроциклы полное описание фото видео

Очевидно, здесь получится уравнение эллипса Самодельные квадроциклы полное описание фото видео, и чтобы выдерживалось неравенство полуосей, нам подойдёт МЕНЬШИЙ коэффициент при переменной «икс штрих», то есть, следует выбрать первый вариант:
Самодельные квадроциклы полное описание фото видео

В своём образце решения я сразу выбрал подходящее преобразование
Самодельные квадроциклы полное описание фото видео, определяющее поворот на угол Самодельные квадроциклы полное описание фото видео, но у вас мог получиться и любой другой их трёх оставшихся случаев (в зависимости от выбора собственных векторов).

Преобразование Самодельные квадроциклы полное описание фото видео тоже приемлемо (поворот примерно на Самодельные квадроциклы полное описание фото видео), а вот Самодельные квадроциклы полное описание фото видео и Самодельные квадроциклы полное описание фото видео непригодны, так как не соответствуют формулам Самодельные квадроциклы полное описание фото видео.

Итак, в результате замен Самодельные квадроциклы полное описание фото видео исходное уравнение Самодельные квадроциклы полное описание фото видео преобразуется к виду:

Самодельные квадроциклы полное описание фото видео

Данное уравнение задаёт тот же самый эллипс в системе Самодельные квадроциклы полное описание фото видео (зелёный  цвет), которая получена поворотом системы Самодельные квадроциклы полное описание фото видео на угол Самодельные квадроциклы полное описание фото видео:
Самодельные квадроциклы полное описание фото видео
Осталось провести параллельный перенос координатных осей. Выделяем полные квадраты:
Самодельные квадроциклы полное описание фото видео

Смотрите про коптеры:  Как собрать отличный гоночный квадрокоптер всего за бюджетные 392$ - Все о квадрокоптерах | PROFPV.RU

И в результате замен Самодельные квадроциклы полное описание фото видео получаем каноническое уравнение эллипса в «красной» системе Самодельные квадроциклы полное описание фото видео:
Самодельные квадроциклы полное описание фото видео

Ответ: Самодельные квадроциклы полное описание фото видео

Но для решения этой задачи, конечно, выгоднее метод инвариантов.

Самостоятельно решите Пример 3 того же урока, которому была посвящена целая мыльная опера с несколькими чертежами:

Пример 14

Самодельные квадроциклы полное описание фото видео – привести уравнение линии к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования квадратичной формы.

Следует отметить, что здесь нас устроит всего лишь одно преобразование из четырёх, поскольку перед нами парабола, и в каноническом положении она «смотрит» в одну, строго определённую сторону.

Краткое решение и ответ в конце урока. Любопытно, что тут решение, наоборот – получилось заметно проще, чем «классическим» геометрическим методом. Ну и конечно, подарок, если нужно выполнить только один поворот, как в Примере 11.

Кстати, как быстро и даже устно определить тип линии? Если определительматрицы формыСамодельные квадроциклы полное описание фото видео, то перед нами линия эллиптического типа (эллипс, мнимый эллипс или пара мнимых пересекающихся прямых), если Самодельные квадроциклы полное описание фото видео – то гиперболического(гипербола или пара пересекающихся прямых), и если Самодельные квадроциклы полное описание фото видео – то параболического(парабола, пара параллельных (мнимых или обычных) или пара совпавших прямых).

На этой позитивной ноте перейдём к квадратичным формам трёх переменных:

Пример 15

Привести квадратичную форму к каноническому виду методом ортогонального преобразования

Самодельные квадроциклы полное описание фото видео

Найти соответствующее преобразование

Решение начинается точно так же: запишем матрицу формы Самодельные квадроциклы полное описание фото видео и найдём её собственные числа:
Самодельные квадроциклы полное описание фото видео
определитель раскрою по 1-й строке:
Самодельные квадроциклы полное описание фото видео
напоминаю полезный технический приём – в первом слагаемом, где нам светит «лямбда в кубе», не нужно спешить раскрывать скобки:
Самодельные квадроциклы полное описание фото видео
решив квадратное уравнение, раскладываем трёхчлен на множители:
Самодельные квадроциклы полное описание фото видео
таким образом, нам удалось избавиться от многочлена 3-й степени, отыскание корней которого – есть непростая задача. И теперь такой задачи нет:
Самодельные квадроциклы полное описание фото видео

Порядок собственных чисел не имеет значения, и поэтому я выберу вариант:
Самодельные квадроциклы полное описание фото видео – чтобы красивее записать канонический вид:

Самодельные квадроциклы полное описание фото видео 

Найдём ортогональное линейное преобразование. Сложность задачи состоит в том, что если среди собственных чисел есть кратные, то ортогональность найденных собственных векторов не гарантирована, и в «неудачном» случае нам придётся предпринять меры по их ортогонализации. Впрочем, не будем торопить события:

1-2) Если Самодельные квадроциклы полное описание фото видео, то получаем систему:
Самодельные квадроциклы полное описание фото видео, которая фактически состоит из одного уравнения.

Выберем в качестве базисной переменную «альфа» и выразим её через свободные переменные: Самодельные квадроциклы полное описание фото видео. Запишем общее решениев столбец:
Самодельные квадроциклы полное описание фото видео

Теперь нам нужно найти векторы фундаментальной системы. Для значений Самодельные квадроциклы полное описание фото видео получаем:
Самодельные квадроциклы полное описание фото видео – первый вектор фундаментальной системы;
и для Самодельные квадроциклы полное описание фото видео:
Самодельные квадроциклы полное описание фото видео – второй вектор.

Легко видеть, что оба вектора удовлетворяют системе (уравнению Самодельные квадроциклы полное описание фото видео) и, естественно, являются собственными. Вычислим их скалярное произведение:

Самодельные квадроциклы полное описание фото видео, значит, данные векторы НЕ ортогональны, что нас не устраивает.

Поэтому эту пару векторов следует ортогонализовать. Поскольку любая линейная комбинация векторов фундаментальной системы тоже является решением системы (уравнения Самодельные квадроциклы полное описание фото видео), то рассмотрим вектор Самодельные квадроциклы полное описание фото видео, где Самодельные квадроциклы полное описание фото видео – пока ёщё неизвестный числовой коэффициент, и составим следующее скалярное произведение, которое должно быть равно нулю:
Самодельные квадроциклы полное описание фото видео

по свойствам скалярного произведения:
Самодельные квадроциклы полное описание фото видео
откуда выражаем и находим:
Самодельные квадроциклы полное описание фото видео

Таким образом, в качестве первого собственного вектора выбираем:
Самодельные квадроциклы полное описание фото видео
и в качестве второго:
Самодельные квадроциклы полное описание фото видео
Как на ладони видно:
Самодельные квадроциклы полное описание фото видео – что полученные векторы действительно ортогональны

С третьим собственным вектором всё прозрачно:

3) Если Самодельные квадроциклы полное описание фото видео, то получаем систему:
Самодельные квадроциклы полное описание фото видео из 2-го уравнения выразим Самодельные квадроциклы полное описание фото видео– подставим в 1-е и 3-е уравнения:
Самодельные квадроциклы полное описание фото видео

Пусть Самодельные квадроциклы полное описание фото видео
Таким образом, третий собственный вектор: Самодельные квадроциклы полное описание фото видео. Не забываем о проверке – устно или на черновике подставляем его координаты в каждое уравнение системы.

И проверяем, ортогонален ли он ранее найденным векторам Самодельные квадроциклы полное описание фото видео:
Самодельные квадроциклы полное описание фото видео

Отлично. Осталось вычислить длины векторов и при необходимости их нормировать:
Самодельные квадроциклы полное описание фото видео

Таким образом, матрица ортогонального преобразования:
Самодельные квадроциклы полное описание фото видео

Запишем ответ: Самодельные квадроциклы полное описание фото видео и преобразование в виде прямых замен:
Самодельные квадроциклы полное описание фото видео

Но подставлять всё это в Самодельные квадроциклы полное описание фото видео что-то не хочется 🙂 Однако, проверка нужна, и мне проще воспользоваться матричным калькулятором:
Самодельные квадроциклы полное описание фото видео
Засёк для интереса время, «забивка» матриц и вычисления заняли ровно 2 минуты.

И здесь есть ещё один интересный момент. В рассмотренной задаче векторы фундаментальной системы можно выбрать бесчисленным количеством способов, и поэтому мы можем построить бесконечно много ортогональных преобразований, которые приводят форму к виду Самодельные квадроциклы полное описание фото видео. Но так бывает, конечно, не всегда.

Смотрите про коптеры:  Квадроцикл своими руками (49 фото): чертежи самодельного квадрацикла 4х4 и 6х4. Как сделать квадроцикл с двигателем от ВАЗ 2108 в домашних условиях?

В заключение статьи кратко расскажу о геометрическом смысле ортогонального преобразования формы трёх переменных. Даже добавлять константу не буду:

Самодельные квадроциклы полное описание фото видео – данное уравнение определяет некоторую поверхность второго порядка в «школьном» базисе Самодельные квадроциклы полное описание фото видео. Что это за поверхность – скажет разве что вундеркинд.

Проведённое ортогональное преобразование осуществляет переход к другому ортонормированному базису Самодельные квадроциклы полное описание фото видео – ТАКОМУ, в котором данная поверхность имеет канонический вид:

Самодельные квадроциклы полное описание фото видео – откуда сразу понятно, что это коническая поверхность, причём, ортогональное преобразование сохранило её размеры. Кстати, перед нами конус вращения, и теперь стало ясно, почему существует бесконечно много пригодных ортогональных преобразований: связку векторов Самодельные квадроциклы полное описание фото видео мы можем «повернуть в горизонтальной плоскости» как угодно, и во всех полученных базисах Самодельные квадроциклы полное описание фото видео коническая поверхность будет иметь канонический вид.

Саму же разновидность поверхности можно выяснить быстрее – методом Лагранжа, но он в общем случае будет «показывать» нам конусы других размеров.

И задача для самостоятельного решения, тоже с кратными собственными числами, ибо с разными получится как-то совсем скучно:

Пример 16

Найти ортогональные линейные замены, приводящие форму к каноническому виду
Самодельные квадроциклы полное описание фото видео

Не пропускайте, это несколько другой тип 😉 Да и вычислений заметно меньше.

Для квадратичных форм четырёх и бОльшего количества переменных задача ортогонального преобразования решается по аналогии. Но в учебной практике такие примеры редкость ввиду их вычислительной сложности, и поэтому я завершаю эту увлекательную тему.

Квадратичные формы – держат нас в форме!

Решения и ответы:

Пример 12. Решение:запишем матрицу формы Самодельные квадроциклы полное описание фото видео и найдём её собственные числа:
Самодельные квадроциклы полное описание фото видео
Решим квадратное уравнение:
Самодельные квадроциклы полное описание фото видео
Самодельные квадроциклы полное описание фото видео – собственные числа, таким образом:
Самодельные квадроциклы полное описание фото видео – форма Самодельные квадроциклы полное описание фото видео  – в каноническом виде.

Найдём собственные векторы, их длины и при необходимости выполним нормирование:

1) Если Самодельные квадроциклы полное описание фото видео, то:
Самодельные квадроциклы полное описание фото видео, пусть Самодельные квадроциклы полное описание фото видео
Таким образом: Самодельные квадроциклы полное описание фото видео 
Самодельные квадроциклы полное описание фото видео.
Разделим каждую координату на длину: Самодельные квадроциклы полное описание фото видео

2) Если Самодельные квадроциклы полное описание фото видео, то:
Самодельные квадроциклы полное описание фото видео, пусть Самодельные квадроциклы полное описание фото видео
Таким образом: Самодельные квадроциклы полное описание фото видео
Самодельные квадроциклы полное описание фото видео

Таким образом, матрица линейного преобразования:
Самодельные квадроциклы полное описание фото видео

Выполним проверку прямой подстановкой Самодельные квадроциклы полное описание фото видео в Самодельные квадроциклы полное описание фото видео:
Самодельные квадроциклы полное описание фото видео
Самодельные квадроциклы полное описание фото видео, что и требовалось проверить.

Ответ: Самодельные квадроциклы полное описание фото видеоСамодельные квадроциклы полное описание фото видео, в случае перестановки собственных чисел:
Самодельные квадроциклы полное описание фото видео, Самодельные квадроциклы полное описание фото видео

Пример 14. Решение: запишем матрицу Самодельные квадроциклы полное описание фото видео квадратичной формы и найдём её собственные числа:
Самодельные квадроциклы полное описание фото видео
так как каноничная парабола определяется уравнением Самодельные квадроциклы полное описание фото видео, то нам нужно перечислить собственные числа в следующем порядке:
Самодельные квадроциклы полное описание фото видео

Таким образом, квадратичная форма преобразуется к виду:
Самодельные квадроциклы полное описание фото видео.

Найдём собственные векторы и при необходимости выполним их нормирование:

1) Если Самодельные квадроциклы полное описание фото видео, то:
Самодельные квадроциклы полное описание фото видео, пусть Самодельные квадроциклы полное описание фото видео
Самодельные квадроциклы полное описание фото видео
2) Если Самодельные квадроциклы полное описание фото видео, то:
Самодельные квадроциклы полное описание фото видео, пусть Самодельные квадроциклы полное описание фото видео
Примечание: вектор Самодельные квадроциклы полное описание фото видео в пару к Самодельные квадроциклы полное описание фото видео не годится, т.к. линейное преобразование не будет соответствовать формулам поворота.
Самодельные квадроциклы полное описание фото видео

Таким образом, матрица линейного преобразования:
Самодельные квадроциклы полное описание фото видео, которое по формулам Самодельные квадроциклы полное описание фото видео приводит уравнение к виду:
Самодельные квадроциклы полное описание фото видео
Однако, после раскрытия скобок, выясняется, что знак при переменной Самодельные квадроциклы полное описание фото видео не приведёт нас каноническому виду Самодельные квадроциклы полное описание фото видео.

И поэтому нужно выбрать другое преобразование, определитель которого Самодельные квадроциклы полное описание фото видео. Этому критерию подходит пара  ортонормированных векторов Самодельные квадроциклы полное описание фото видео, Самодельные квадроциклы полное описание фото видео, задающая преобразование Самодельные квадроциклы полное описание фото видео с поворотом Самодельные квадроциклы полное описание фото видео на  Самодельные квадроциклы полное описание фото видео рад. (–135 градусов) (это угол табличный: значениям Самодельные квадроциклы полное описание фото видео соответствует Самодельные квадроциклы полное описание фото видео или Самодельные квадроциклы полное описание фото видео рад.)

Таким образом, данное преобразование приводит нас к уравнению:
Самодельные квадроциклы полное описание фото видео
избавимся от иррациональности в знаменателях, домножив числители и знаменатели на Самодельные квадроциклы полное описание фото видео:
Самодельные квадроциклы полное описание фото видео
«собираем» полный квадрат при переменной Самодельные квадроциклы полное описание фото видео:
Самодельные квадроциклы полное описание фото видео и проводим замены Самодельные квадроциклы полное описание фото видео.

Ответ: Самодельные квадроциклы полное описание фото видео

Пример 16. Решение запишем матрицу формы Самодельные квадроциклы полное описание фото видео и найдём её собственные числа:
Самодельные квадроциклы полное описание фото видео
определитель выгодно раскрыть по 3-й строке или 3-му столбцу:
Самодельные квадроциклы полное описание фото видео
Самодельные квадроциклы полное описание фото видео – собственные числа, таким образом:

Самодельные квадроциклы полное описание фото видео – форма Самодельные квадроциклы полное описание фото видео в каноническом виде.

Найдём собственные векторы:

1-2) Если Самодельные квадроциклы полное описание фото видео, то получаем систему:
Самодельные квадроциклы полное описание фото видео, из которой очевиден собственный вектор Самодельные квадроциклы полное описание фото видео.
Второй вектор найдём для Самодельные квадроциклы полное описание фото видео из соотношения Самодельные квадроциклы полное описание фото видео.
Пусть Самодельные квадроциклы полное описание фото видео
Самодельные квадроциклы полное описание фото видео

3) Если Самодельные квадроциклы полное описание фото видео, то:
Самодельные квадроциклы полное описание фото видео 
Пусть Самодельные квадроциклы полное описание фото видео
Проверим, что полученный вектор ортогонален двум первым векторам:
Самодельные квадроциклы полное описание фото видео

Первый вектор уже имеет единичную длину, поэтому:
Самодельные квадроциклы полное описание фото видео
другие векторы нужно нормировать:
Самодельные квадроциклы полное описание фото видео

Таким образом, матрица ортогонального преобразования:
Самодельные квадроциклы полное описание фото видео

Ответ: Самодельные квадроциклы полное описание фото видео

Проверим результат прямой подстановкой в форму Самодельные квадроциклы полное описание фото видео:
Самодельные квадроциклы полное описание фото видео
сгруппируем вместе и приведём подобные слагаемые:
Самодельные квадроциклы полное описание фото видео
Самодельные квадроциклы полное описание фото видео, что и требовалось проверить.

Автор: Емелин Александр

Самодельные квадроциклы полное описание фото видео Блог Емелина Александра

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Adblock
detector