Связи и их классификация. Идеальные связи

При решении задач на равновесие механических систем, например, для составной конструкции применяются соответствующие уравнения равновесия. Как правило, такие задачи являются статически неопределимыми. Для их решения требуется рассматривать равновесие каждого из тел системы под действием активных сил, реакций внешних связей и реакций внутренних связей. В результате того, что для каждого из тел системы составляются уравнения равновесия, приходится решать большие системы уравнений. Такой подход к решению задачи становится громоздким и потому малопригодным. В этих случаях целесообразно использовать принцип возможных перемещений, который существенно облегчает решение поставленной задачи.

Формулировкапринципа возможных перемещений.

Для равновесия механической системы, на которую наложены стационарные идеальные связи, необходимо и достаточно, чтобы сумма работ активных (задаваемых) сил на любых возможных перемещениях механической системы равнялась нулю.

Этот принцип выражается формулой

δA = ΣδA(F_i) = ΣF_i·δS_i = ΣF_i·δS_i·cos(F_i, δS_i) = 0,

где F_i – активная сила, приложенная к i-й точке механической системы; δS_i – возможное перемещение точки приложения силы F_i.

Принцип возможных перемещений в декартовой системе отсчёта имеет вид

Σ(F_iOX·δS_iOX F_iOY·δS_iOY F_iOZ·δS_iOZ) = 0,

где F_iOX, F_iOY, F_iOZ – проекции задаваемых (активных) сил на координатные оси; δS_iOX, δS_iOY, δS_iOZ – проекции возможных перемещений δS_i точки приложения сил F_i на координатные оси.

Если предыдущую формулу (ΣF_i·δS_i = ΣF_i·δS_i·cos(F_i, δS_i) = 0) продифференцировать по времени, то получим

ΣF_i·V_i = ΣF_i·V_i·cos(F_i, V_i) = 0,

где V_i = d(δS_i)/dt – возможная скорость точки приложения силы F_i.

Так как по определению F·V = F·V·cos(F, V) = N, где N – мощность, то последнее равенство трактуют как принцип возможных скоростей или принцип возможных мощностей.

Для равновесия механической системы, на которую наложены стационарные идеальные связи, необходимо и достаточно, чтобы сумма мощностей активных сил на любых возможных скоростях точек этой системы равнялась нулю.

Для закрепления изложенного теоретического материала рекомендуется выполнить курсовые задания Д 6, Д7.

6.3.1. Варианты курсового задания Д 6

«Применение принципа возможных перемещений

к решению задач о равновесии сил, приложенных

к механической системе с одной степенью свободы»

Схемы механизмов, находящихся под действием взаимно уравновешивающихся сил, и необходимые для расчёта данные приведены в табл. 5.4. В расчётах использовать следующие условные обозначения: с – коэффициент жёсткости пружины (Н/см); h – деформация пружины (см); Q, P – силы (Н); М – момент пары сил (Н·м).

Примечания:

Вариант 6. Вес рукоятки О₁А не учитывать.

Вариант 7. Пружина сжата.

Вариант 8. Пружина сжата.

Вариант 10. Вес рукоятки ОА не учитывать.

Вариант 14. Вес стержней ОА и ОВ не учитывать; пружина растянута.

Вариант 16. Вес стержней О₁А и О₂В не учитывать.

Вариант 18. Р – вес блока радиуса R₃.

Вариант 19. Вес звена АВ не учитывать.

Вариант 24. Пружина сжата.

Вариант 25. Вес стержней АО и ВО не учитывать. Пружина растянута.

Вариант 26. Пружина растянута.

Применяя принцип возможных перемещений и пренебрегая силами сопротивления, определить величину, указанную в последнем столбце табл. 5.4.

Таблица 5.4

Продолжение табл. 5.4

Продолжение табл. 5.4

Продолжение табл. 5.4

Продолжение табл. 5.4

Продолжение табл. 5.4

Продолжение табл. 5.4

Продолжение табл. 5.4

Продолжение табл. 5.4

Окончание табл. 5.3

6.3.2. Пример выполнения курсового задания Д 6

При выполнении курсовых заданий Д 6, Д 7 необходимо учесть следующие замечания.

1. Если не все связи, наложенные на рассматриваемую механическую систему, являются идеальными, например, имеются шероховатые поверхности (неидеальные связи), то к активным нагрузкам следует добавить силы трения. Таким приёмом силы трения переносят в разряд активных сил и, следовательно, шероховатую поверхность можно рассматривать как идеальную связь (рис. 6.14).

Таким образом, при решении задачи рис. 6.14,а и рис. 6.14,б эквивалентны.

2. Если требуется определить какую-либо реакцию идеальной связи, то, применив аксиому связей, отбрасывают соответствующую связь и заменяют её реакцией связи. Таким образом, исходная связь заменяется другой связью, допускающей возможные перемещения. Тем самым искомая реакция переносится в разряд активных сил. Этот приём решения задач является черезвычайно эффективным, так как искомая реакция связи непосредственно определяется из уравнения, выражающего принцип возможных перемещений.

На рис. 6.15, 6.16 приведены некоторые варианты определения реакций внешних связей для механических систем.

В исходном положении (см. рис. 6.15) на механическую систему, состоящую из двух тел, в точке А наложена связь – жёсткая заделка. Снимем ограничение на перемещение тела 1 в горизонтальном направлении, сохранив остальные ограничения. Варианты такой замены показаны на рис. 6.15,б, 6.15,в.

При таких заменах тело 1 может совершить только поступательное движение, параллельное координатной оси ОХ. Если задать возможное перемещение δS_A точке А механической системы, то её точки В и С получат возможные перемещения δS_В, δS_С, зависящие от δS_A.

При определении реактивного момента М_А для механической системы, приведённой на рис 6.15, жёсткую заделку заменяют шарнирно-неподвижной опорой (см. рис. 6.16).

При такой замене тело 1 может совершать вращательное движение. Зададим этому телу возможное угловое перемещение δφ₁. Точки В и С механической системы получат линейные возможные перемещения δS_В, δS_С, зависящие от перемещения δφ₁.

1. Изобразить рассматриваемую механическую систему на рисунке в соответствующем масштабе.

2. Приложить к механической системе активные нагрузки.

3. При наличии неидеальных связей добавить соответствующие реакции связей (например, силы трения).

4. Для определения реакции связи эту реакцию перенести в разряд активных сил путём замены существующей связи на связь, допускающую возможное перемещение в направлении, как правило, противоположном направлению определяемой реакции связи.

5. Задать возможное перемещение одной из точек механической системы и выразить возможные перемещения точек приложения сил в зависимости от заданного возможного перемещения.

6. Вычислить сумму работ активных сил на возможных перемещениях их точек приложения и приравнять эту сумму нулю.

7. Решив составленное уравнение, определить искомую величину.

Пример.

На рис. 6.17 изображена механическая система, находящаяся в равновесии. Определить модуль силы F, приложенной в точке А рычага 1.

Дано: G₅ = 100 H; α = 30^о; d₁ = 1 м; b₁ = 0,5 м; d₃ = 0,8 м;

b₃ = 0,5 м.

Решение.

Согласно рис. 6.17 механическая система, содержащая пять тел, имеет одну степень свободы. Наложенные на эту систему в точках С и К связи (шарнирно-неподвижные опоры) являются идеальными. На механическую систему, находящуюся в равновесии, действуют активные силы F и G₅.

Зададим возможное угловое перемещение δφ₁ телу 1, которое может совершать вращательное движение (рис. 6.18).

Модули возможных перемещений δS_A , δS_B точек А и В в зависимости от δφ₁ определим по формулам:

δS_A = δφ₁·АС = δφ₁·d₁; δS_B= δφ₁·BC = δφ₁·b₁.

Решая совместно эти выражения, найдем зависимость

δS_B= f(δS_A) = δS_A·b₁/d₁.

Из условия принадлежности точки D телу 3, которое получит возможное угловое перемещение δφ₃, эта точка получит возможное перемещение δS_D, перпендикулярное отрезку DK.

δS_D = δφ₃·DK = δφ₃·d₃.

Рассмотрим элементарное движение тела 2. Это тело совершает мгновенно поступательное движение, так как возможные перемещения δS_B, δS_D соответствующих точек этого тела одинаково направлены. Исходя из этого, имеем

δS_D = δS_B = δφ₃·d₃ = δS_A·b₁/d₁.

Точка Е тела 3 получит возможное перемещение δS_Е, модуль δS_Е которого определим по формуле

δS_Е = δφ₃·ЕK = δφ₃·b₃.

Выразим модуль возможного перемещения δS_Е точки Е сначала в зависимости от модуля возможного перемещения δS_D точки D, а затем в зависимости от модуля возможного перемещения δS_А точки А:

δS_Е = δS_D·(b₃/d₃) = .

Так как участок нити EL и груз 5 совершают поступательные движения, то имеем

δS_Е = δS_L = δS_C5 = ,

где δS_L, δS_C5 – соответственно возможные перемещение точки L, принадлежащей нити 4 и центру С₅ масс груза 5.

Запишем принцип возможных перемещений для рассматриваемой механической системы.

ΣF_i·δS_i·cos(F_i, δS_i) = 0 = F·δS_А·cos(α) – G₅·δS_C5 = 0.

Так как δS_C5 = , то получим

F·δS_А·cos(α) – G₅· = 0.

Решая последнее выражение, определим модуль силы F, при котором механическая система находится в равновесии.

6.3.3. Варианты курсового задания Д 7

«Применение принципа возможных перемещений

к определению реакций опор составной конструкции»

Применяя принцип возможных перемещений, определить реакции опор составной конструкции. Схемы конструкций и необходимые для решения данные приведены в табл. 5.5. На рисунках все размеры указаны в метрах.

Таблица 5.5

Продолжение табл. 5.5

Продолжение табл. 5.5

Продолжение табл. 5.5

Продолжение табл. 5.5

Продолжение табл. 5.5

Продолжение табл. 5.5

Продолжение табл. 5.5

Продолжение табл. 5.5

Окончание табл. 5.5

6.3.4. Пример выполнения курсового задания Д 7

Дано: конструкция, состоящая из двух тел, находится в равновесии под действием следующих нагрузок: Р₁ = 2 кН; Р₂ = 4 кН; М = 6 кН·м; q = 1 кН/м (рис. 6.19).

Применяя принцип возможных перемещений, определить реакции опор составной конструкции.

Решение.

Заменим равномерно распределённую нагрузку интенсивностью q сосредоточенной силой Q, приложенной в середине загруженного участка тела 1 (рис. 6.20). Модуль этой силы определим по формуле Q = q·2 = 1·2 = 2 кН.

Поскольку связи, наложенные на рассматриваемую механическую систему, являются идеальными, то для решения поставленной задачи правомерно применение принципа возможных перемещений.

Найдем горизонтальную составляющую Х_А реакции в жёсткой заделке.

Согласно известным положениям статики жёсткая заделка накладывает три ограничения на перемещения тела в плоскости OXY (поступательные движения параллельно координатным осям и поворот в этой плоскости). Снимем ограничение на перемещение тела 1 только параллельно оси ОХ, сохраняя другие ограничения, и покажем на рисунке реакцию Х_А. В результате этих действий реакция Х_А переходит в разряд активных сил, а жёсткая заделка в точке А (см. рис. 6.19) заменяется кулисным камнем, к которому жёстко закреплено тело 1 составной конструкции. При такой замене составная конструкция становится подвижной.

Зададим возможное перемещение δS_A точке А тела 1. Так как тело 1 может совершать только поступательное движение, то возможные перемещения всех точек этого тела геометрически равны:

δS_A = δS_P1 = δS_Q = δS_C,

где δS_P1 – возможное перемещение точки приложения силы Р₁; δS_Q – возможное перемещение точки приложения силы Q; δS_C – возможное перемещение точки С.

Так как точка С принадлежит и телу 2, то оно тоже будет подвижным. Для того, чтобы связь в точке В не разрушилась, эта точка получит возможное перемещение δS_В, параллельное опорной поверхности шарнирно-подвижной опоры. Поскольку возможные перемещения δS_C, δS_В точек С и В тела 2 параллельны, то тело 2 совершает поступательное движение. Исходя из этого, имеем следующее равенство:

δS_C = δS_В = δS_Р2,

где δS_Р2 – возможное перемещение точки приложения силы Р₂.

Таким образом, возможные перемещения всех точек тел 1 и 2 геометрически равны:

δS_A = δS_P1 = δS_Q = δS_C = δS_В = δS_Р2.

Запишем уравнение, выражающее принцип возможных перемещений для рассматриваемого случая.

ΣF_i·δS_i·cos(F_i, δS_i) = 0 = – X_A·δS_A P₁·δS_P1 – P₂·cos(45^о)·δS_Р2 = 0. (1)

Поскольку δS_A = δS_P1 = δS_Р2, то выражение (1) можно записать в следующем виде:

– X_A·δS_A P₁·δS_А – P₂·cos(45^о)·δS_А = 0.

Решая последнее выражение относительно Х_А, получим

X_A = P₁ – P₂·cos(45^о) = 2 – 4·0,707 = – 0,828 кН.

Найдем вертикальную составляющую Y_А реакции в жёсткой заделке.

Согласно известным положениям статики жёсткая заделка накладывает три ограничения на перемещения тела в плоскости OXY (поступательные движения параллельно координатным осям и поворот в этой плоскости). Снимем ограничение на перемещение тела 1 только параллельно оси ОY, сохраняя другие ограничения, и покажем на рисунке реакцию Y_А. В результате этих действий реакция Y_А переходит в разряд активных сил, а жёсткая заделка в точке А (рис. 6.21) заменяется кулисным камнем, к которому жёстко закреплено тело 1 составной конструкции. При такой замене составная конструкция становится подвижной.

Зададим возможное перемещение δS_A точке А тела 1. Так как тело 1 может совершать только поступательное движение, то возможные перемещения всех точек этого тела геометрически равны:

δS_A = δS_P1 = δS_Q = δS_C,

где δS_P1 – возможное перемещение точки приложения силы Р₁; δS_Q – возможное перемещение точки приложения силы Q; δS_C – возможное перемещение точки С.

Так как точка С принадлежит и телу 2, то оно тоже будет подвижным. Для того, чтобы связь в точке В не разрушилась, эта точка должна получить возможное перемещение δS_В, параллельное опорной поверхности шарнирно-подвижной опоры. Поскольку возможные перемещения δS_C, δS_В точек С и В тела 2 не параллельны, то тело 2 совершает плоскопараллельное движение. Очевидно, что мгновенный центр поворота тела 2 находится в точке В. Относительно оси, проходящей через точку В и перпендикулярной плоскости рис. 6.21, тело 2 повернётся на угол δφ₂. Исходя из этого, имеем следующее равенство:

δS_C = CB·δφ₂ = 3·δφ₂.

Следует заметить, что возможные перемещения δS_C, δS_P2 точки С и точки приложения силы Р₂ перпендикулярны отрезкам, соединяющим эти точки с мгновенным центром поворота тела 2.

Принцип возможных перемещений выражается формулой

∑F_i·δS_i·cos(F_i, δS_i) = 0.

Так как величину угла между направлениями активной силы Р₂ и возможным перемещением δS_P2 точки приложения этой силы определять достаточно затруднительно, то элементарную работу приложенных к телу 2 сил определим через работу моментов сил относительно его мгновенного центра поворота, который расположен в точке В. С этой целью силу Р₂ разложим на составляющие силы: P₂·sin(45^о) и P₂·cos(45^о).

Запишем уравнение, выражающее принцип возможных перемещений:

– Y_A·δS_A Q·δS_Q P₂·sin(45^о)·1,5·δφ₂

P₂·cos(45^о)·3·δφ₂ – M·δφ₂ = 0. (2)

Так как δS_A = δS_Q = 3·δφ₂, то выражение (2) можно преобразовать к следующему виду:

– Y_A·3·δφ₂ Q·3·δφ₂ P₂·sin(45^о)·1,5·δφ₂

P₂·cos(45^о)·3·δφ₂ – M·δφ₂ = 0.

Решая последнее выражение относительно Y_A, получим

Y_A = Q 1 P₂·sin(45^о)·0,5 P₂·cos(45^о)·1 – M/3 =

= 2 1 4·0,707·0,5 4·0,707·1 – 6/3 = 4,242 кН.

Найдём реактивный момент М_А в жёсткой заделке.

Жёсткая заделка накладывает три ограничения на перемещения тела в плоскости OXY (поступательные движения параллельно координатным осям и поворот в этой плоскости). Снимем ограничение на поворот тела 1 в плоскости ОХY, сохраняя другие ограничения, и покажем на рисунке реактивный момент М_А. В результате этих действий реакция М_А переходит в разряд активных нагрузок, а жёсткая заделка в точке А (рис. 6.22) заменяется шарнирно-неподвижной опорой. При такой замене составная конструкция становится подвижной. Тело 1 может совершать вращательное движение относительно оси, проходящей через точку А. Зададим телу 1 возможное угловое перемещение δφ₁. Тогда точки приложения активных сил Р₁, Q и точка С получат возможные перемещения δS_P1, δS_Q, δS_C.

δS_P1 = 1,5·δφ₁; δS_Q = ( )·δφ₁; δS_C = CA·δφ₁.

Следует отметить, что возможное перемещение δS_C перпендикулярно отрезку, соединяющему точку С с осью вращения тела 1, проходящей через точку А.

Так как точка С принадлежит и телу 2, то оно тоже будет подвижным. Для того, чтобы связь в точке В не разрушилась, эта точка должна получить возможное перемещение δS_В, параллельное опорной поверхности шарнирно-подвижной опоры. Поскольку возможные перемещения δS_C, δS_В точек С и В тела 2 не параллельны, то тело 2 совершает плоскопараллельное движение. Очевидно, что мгновенный центр поворота тела 2 находится в точке С₂. Относительно оси, проходящей через точку С₂ и перпендикулярную плоскости рис. 6.22, тело 2 повернётся на угол δφ₂. Исходя из этого, имеем следующее равенство:

δS_C = CС₂·δφ₂.

Так как точка С принадлежит и телу 1, и телу 2, то справедливо равенство

δS_C = CA·δφ₁ = CС₂·δφ₂.

Из рис. 6.22 нетрудно установить, что СА = СС₂. Отсюда имеем

δφ₁ = δφ₂.

Возможные перемещения δS_C, δS_Р2 точки С и точки приложения силы Р₂ перпендикулярны отрезкам, соединяющим эти точки с мгновенным центром поворота тела 2.

В общем случае принцип возможных перемещений выражается формулой

∑F_i·δS_i·cos(F_i, δS_i) = 0.

Так как величину угла между направлениями активной силы Р₂ и возможным перемещением δS_P2 точки приложения этой силы определять достаточно затруднительно, то элементарную работу приложенных к телу 2 сил определим через работу моментов сил относительно его мгновенного центра поворота, который находится в точке С₂. Как и ранее (см. рис. 6.21), силу Р₂ разложим на составляющие силы: P₂·sin(45^о) и P₂·cos(45^о), параллельные координатным осям.

Запишем уравнение, выражающее принцип возможных перемещений.

– M_A·δφ₁ P₁·1,5·δφ₁ – Q·1·δφ₁ –

– P₂·sin(45^о)·1,5·δφ₂ – P₂·cos(45^о)·6·δφ₂ M·δφ₂ = 0. (3)

Поскольку δφ₁ = δφ₂, то выражение (3) можно преобразовать к виду

– M_A·δφ₁ P₁·1,5·δφ₁ – Q·1·δφ₁ –

– P₂·sin(45^о)·1,5·δφ₁ – P₂·cos(45^о)·6·δφ₁ M·δφ₁ = 0.

Решая это уравнение относительно М_А, получим

M_A = P₁·1,5 – Q·1 – P₂·sin(45^о)·1,5 – P₂·cos(45^о)·6 M =

= 2·1,5 – 2·1 – 4·0,707·1,5 – 4·0,707·6 6 = – 14,210 кН·м.

Определим реакцию R_B.

Шарнирно-подвижная опора в точке В накладывает только одно ограничение на перемещение тела 2 в пространстве. Снимем это ограничение на поступательное движение тела, параллельное оси ОY, и покажем на рис. 6.23 реакцию R_B. Так как тело 1 неподвижно, то возможным перемещением тела 2 является его поворот относительно оси, проходящей через точку С на угол δφ₂.

На рис. 6.23 показаны возможные перемещения δS_В, δS_Р2 точек приложения сил R_B и Р₂.

Составим уравнение, выражающее принцип возможных перемещений, при этом учтём, что работа силы при повороте тела равна произведению момента силы относительно мгновенного центра поворота на угол поворота тела.

P₂·sin(45^о)·1,5·δφ₂ – P₂·cos(45^о)·3·δφ₂ M·δφ₂ – R_B·δS_B = 0. (4)

Так как δS_B = 3·δφ₂, то выражение (4) приводится к виду

P₂·sin(45^о)·1,5·δφ₂ – P₂·cos(45^о)·3·δφ₂ M·δφ₂ – R_B·3·δφ₂ = 0.

Решая последнее выражение относительно R_B, получим

R_B = P₂·sin(45^о)·0,5 – P₂·cos(45^о)·1 M/3 =

= 4·0,707·0,5 – 4·0,707·1 6/3 = 0,586 кН.

Проведём проверку полученных результатов расчёта. Для этого рассмотрим равновесие составной конструкции под действием активных нагрузок Р₁; Р₂, М, Q и реакций внешних связей X_A, Y_A, M_A, R_B (рис. 6.24).

Запишем уравнения равновесия для плоской произвольной системы сил и подставим в них определённые значения реакций внешних связей.

Σ Σ = 0 = X_A – P₁ P₂·cos(45^о) =

= – 0,828 – 2 4·0,707 = – 2,828 2,828 = 0;

Σ Σ = 0 = Y_A – P₂·sin(45^о) R_B =

= 4,242 – 2 – 4· 0,586 = 4,828 – 4,828 = 0;

ΣМ_А( ) ΣМ_А( ) = 0 =

= – M_A P₁·1,5 – Q·1 – P₂·sin(45^о)·4,5 – M R_B·6 =

= – (–14,210) 2·1,5 – 2·1 – 4·0,707·4,5 – 6 0,586·6 =

= 20,728 – 20,728 = 0.

Проверка подтвердила правильность расчётов.

Вопросы и задания для самоконтроля

1. Сформулировать определение понятия «обобщённые координаты механической системы».

2. Что изучает аналитическая механика?

3. Сформулировать определение понятия «возможные перемещения несвободной механической системы».

4. Сформулировать определение понятия «связи».

5. Сформулировать определение понятия «геометрические связи».

6. Сформулировать определение понятия «стационарные связи».

7. Сформулировать определение понятия «уравнения связей».

8. Сформулировать определение понятия «дифференциальные связи».

9. Сформулировать определение понятия «голономные связи».

10. Сформулировать определение понятия «неголономные связи».

11. Сформулировать определение понятия «нестационарные связи».

12. Сформулировать определение понятия «двусторонние (удерживающие) связи».

13. Сформулировать определение понятия «односторонние (неудерживающие) связи».

14. Сформулировать определение понятия «голономная система».

15. Сформулировать определение понятия «неголономная система».

16. Сформулировать определение понятия «возможное перемещение системы».

17. Сформулировать определение понятия «возможная (элементарная) работа силы».

18. Записать формулу для определения возможной работы силы.

19. Записать формулу для определения возможной работы сил, приложенных к механической системе.

20. Сформулировать определение понятия «идеальные связи».

21. Сформулировать принцип возможных перемещений.

22. Записать формулу, выражающую принцип возможных перемещений, в векторной форме.

23. Записать формулу, выражающую принцип возможных перемещений, в координатной форме.

24. Записать формулу, выражающую принцип возможных скоростей (принцип возможных мощностей).

6.4.1. Общее уравнение динамики механической системы

Принцип возможных перемещений, дающий общий метод решения задач статики, можно применить и к решению задач динамики, если его дополнить принципом Даламбера.

Рассмотрим движение несвободной неизменяемой механической системы, на которую наложены идеальные связи, в инерциальной системе отсчёта OXYZ (рис. 6.25).

Согласно принципу Даламбера i-я точка механической системы совершает движение под действием активной силы , реакции внешней связи, реакции внутренней связи и силы инерции Ф_i. Этот принцип выражается формулой

Ф_i = 0.

Пусть точка С_i механической системы получит возможное перемещение δS_Сi. Очевидно, что элементарная работа δА сил, приложенных к точке, равна нулю.

δА = ( Ф_i)·δS_Сi = 0.

Просуммируем последние выражения и получим

Σ ·δS_Сi Σ ·δS_Сi Σ ·δS_Сi ΣФ_i·δS_Сi = 0.

Для движущейся механической системы сумма работ активных сил, реакций внешних связей, внутренних сил и сил инерции, приложенных к её точкам, на любых возможных перемещениях этой системы равна нулю.

Поскольку на механическую систему наложены идеальные связи, то сумма работ реакций этих связей равна нулю.

Σ ·δS_Сi = 0.

Так как рассматривается неизменяемая механическая система, то сумма работ реакций внутренних связей также равна нулю.

Σ ·δS_Сi = 0.

Исходя из того, что Σ ·δS_Сi = 0 и Σ ·δS_Сi = 0, получим

Σ ·δS_Сi ΣФ_i·δS_Сi = 0.

Последнее уравнение называют общим уравнением динамики.

В любой момент времени работа активных сил и сил инерции материальных точек несвободной механической системы с идеальными связями на её любом возможном перемещении равна нулю.

Общее уравнение динамики (Σ ·δS_Сi ΣФ_i·δS_Сi = 0) можно преобразовать к следующим видам:

Σ( Ф_i)·δS_Сi = 0;

Σ ·δS_Сi·cos( , δS_Сi) ΣФ_i·δS_Сi·cos(Ф_i, δS_Сi) = 0;

Σ( ·δS_iОХ ·δS_iOY ·δS_iOZ)

Σ(Ф_iOX·δS_iOX Ф_iOY·δS_iOY Ф_iOZ·δS_iOZ) = 0;

Σ( ·δS_iOX ·δS_iOY ·δS_iOZ)

Σ(– m· ·δS_iOX – m· ·δS_iOY – m· ·δS_iOZ) = 0,

где , , – проекции активных сил на координатные оси; Ф_iOX, Ф_iOY, Ф_iOZ – проекции сил инерции на координатные оси; δS_iOX, δS_iOY, δS_iOZ – проекции возможных перемещений точек приложения сил на координатные оси, , , – проекции ускорений материальных точек механической системы на координатные оси.

Общее уравнение динамики позволяет составить дифференциальные уравнения движения любой механической системы.

Если среди связей системы имеются односторонние связи, то для применения общего уравнения динамики необходимо, чтобы возможные перемещения системы не разрушали эти связи, а обеспечивали их функциональное назначение.

Для закрепления изложенного теоретического материала рекомендуется выполнить курсовое задание Д 8.

6.4.2. Варианты курсового задания Д 8

«Применение общего уравнения

динамики к исследованию движения механической

системы с одной степенью свободы»

Для заданной механической системы определить ускорения центров масс грузов 1. Массами нитей пренебречь. Трение качения и силы сопротивления в подшипниках не учитывать. Система движется из состояния покоя.

Варианты механических систем и необходимые для решения данные приведены в табл. 5.6.

Блоки и катки, для которых радиусы инерции в табл. 5.6 не указаны, считать сплошными однородными цилиндрами.

Примечания:

Радиусы инерции даны относительно центральных осей, перпендикулярных плоскости чертежа.

Коэффициенты трения принимать одинаковыми при скольжении тел по плоскостям.

Таблица 5.6

Продолжение табл. 5.6

Продолжение табл. 5.6

Продолжение табл. 5.6

Продолжение табл. 5.6

Продолжение табл. 5.6

Продолжение табл. 5.6

Продолжение табл. 5.6

Продолжение табл. 5.6

Окончание табл. 5.6

6.4.3. Пример выполнения курсового задания Д 8

Для заданной механической системы (рис. 6.26) определить ускорение груза 1 при его опускании.

Дано: G₁ = 8G; G₂ = 4G; G₃ = 2G; P = G; f₃ = 0,1; i_C2X2 = 0,1 м; f₄ = 0,1; α = 30^o; b = 0,5 м; d = 0,4 м; r₂ = 0,2 м; R₂ = 0,5 м, где G₁, G₂, G₃ – вес соответствующих тел механической системы; f₃ – коэффициент трения скольжения тела 3 при его движении по шероховатой поверхности; f₄ – коэффициент трения скольжения между телами 2 и 4; i_C2X2 – радиус инерции тела 2 относительно оси, проходящей через его центр масс; α, b, d, r₂, R₂ – геометрические параметры. Механическая система начинает движение из состояния покоя.

Решение.

Рассмотрим движение механической системы, состоящей из тел 1, 2, 3 (рис. 6.27), предположив, что груз 1 опускается ускоренно.

Согласно общему уравнению динамики механическая система совершает движение под действием активных сил: G₁, G₂, G₃ – силы тяжести тел 1, 2, 3; F₃ – сила трения при движении груза 3 по шероховатой поверхности; F_4-2 – сила трения при скольжении цилиндрической поверхности тела 2 по тормозной колодке тела 4 и инерционных нагрузок: Ф₁, Ф₃ – силы инерции тел 1, 3; – момент сил инерции при вращении тела 2 относительно оси С₂Х₂.

Как это отмечалось ранее, при наличии неидеальных связей, наложенных на механическую систему, эти связи необходимо преобразовать в идеальные путём переноса сил трения в разряд активных сил.

Для определения силы трения F_4-2 механическую систему, показанную на рис. 6.26, расчленим по внутренней связи и рассмотрим равновесие рычага 4 (рис. 6.28).

На тело 4 действуют: активная сила Р; реакции Y_A, Z_A внешней связи в точке А (шарнирно-неподвижная опора); реакции N_2-4, F_2-4 внутренней связи. Направления сил N_2-4, F_2-4 показывают, как тело 2 действует на тело 4. Составим уравнение равновесия.

ΣM_A( ) ΣM_A( ) = N_2-4·b – P·(b d) = 0.

Из этого уравнения определим модуль нормальной реакции

N_2-4 = P·(b d)/b = G·(b d)/b.

Согласно закону сухого трения (закону Кулона) сила трения F_2-4 связана с нормальной реакцией N_2-4 соотношением

F_2-4 = f₄·N_2-4 = f₄·G·(b d)/b.

По известному закону динамики (закон равенства действия и противодействия) имеем

F_4-2 = F_2-4 = f₄·G·d/b.

Таким образом, сила F_4-2 трения, приложенная к телу 2 со стороны тела 4 (см. рис. 6.27), определена.

Для определения силы F₃ трения рассмотрим поступательное движение груза 3 (рис. 6.29) в инерциальной системе отсчёта O₃Y₃X₃. Используя известные положения динамики, примем груз 3 за материальную точку.

На рис. 6.29 использованы условные обозначения: N₃ – нормальная реакция шероховатой поверхности; V_С3, a_С3 – соответственно скорость и ускорение центра масс тела 3.

Составим дифференциальное уравнение поступательного движения тела 3.

m· = – G₃·cos(α) N₃,

где – проекция ускорения a_С3 на координатную ось O₃Y₃.

Так как = 0, то получим

N₃ = G₃·cos(α).

Тогда имеем

F₃ = f₃·N₃ = f₃·G₃·cos(α) = f₃·2·G·cos(α).

Таким образом, сила трения F₃ определена.

Вернёмся к рис. 6.27. Зададим возможное перемещение δS_С1 центру масс тела 1. При этом тело 2 получит возможное угловое перемещение δφ₂ = δS_С1/R₂, а центр С₃ масс тела 3 получит возможное линейное перемещение, модуль которого δS_С3 = δS_С1·(r₂/R₂). Двойным дифференцированием по времени возможных перемещений δφ₂, δS_С3 определим угловое ускорение тела 2 и модуль a_С3 ускорения центра масс тела 3.

= a_С1/R₂; a_С3 = a_С1·(r₂/R₂).

К рассматриваемой механической системе приложим активные силы G₁, G₂, G₃, F₃, F_4-2 и инерционные нагрузки Ф₁, Ф₂, .

Модули сил инерции Ф₁, Ф₃ и момента сил инерции определяют по формулам:

Ф₁ = m₁·a_С1 = (G₁/g)·a_С1 = (8·G/g)·a_С1;

Ф₃ = m₁ ·a_С3 = (G₃/g)·a_С3 = (2·G/g)·a_С1·(r₂/R₂);

= J_С2Х2· = m₂·(i_С2Х2)²· = (G₂/g)·(i_С2Х2)²· =

= (4·G/g)·(i_С2Х2)²·(a_С1/R₂).

Запишем общее уравнение динамики для рассматриваемой механической системы:

Σ ·δS_Сi·cos( , δS_Сi) ΣФ_i·δS_Сi·cos(Ф_i, δS_Сi) = 0.

Определим первое слагаемое правой части этого уравнения.

Σ ·δS_Сi·cos( , δS_Сi) =

= G₁·δS_С1 – F_4-2·δS_С1 – G₃·δS_С3·sin(α) – F₃·δS_С3 =

= 8·G·δS_С1 – f₄·G·((b d)/b)·δS_С1 – 2·G·δS_С1·(r₂/R₂)·sin(α) –

– f₃·2·G·cos(α)·δS_С1·(r₂/R₂) =

= G·(8 – f₄·((b d)/b) – 2·(r₂/R₂)·sin(α) – f₃·2·G·cos(α)·(r₂/R₂))·δS_С1.

Определим второе слагаемое правой части общего уравнения динамики:

ΣФ_i·δS_Сi·cos(Ф_i, δS_Ci) = – Ф₁·δS_С1 – ·δφ₂ – Ф₃·δS_С3 =

= – (8·G/g)·a_С1·δS_С1 – (4·G/g)·(i_С2Х2)²·(a_С1/R₂)·(δS_С1/R₂) –

– (2·G/g)·a_С1·(r₂/R₂)·δS_С1·(r₂/R₂) =

= – (G/g)·(8 4·(i_С2Х2/R₂)² 2·(r₂/R₂)²)·a_С1·δS_С1.

Внося эти слагаемые в общее уравнение динамики, получим

G·(8 – f₄·((b d)/b) – 2·(r₂/R₂)·sin(α) – f₃·2·G·cos(α)·(r₂/R₂))·δS_С1 –

– (G/g)·(8 4·(i_С2Х2/R₂)² 2·(r₂/R₂)²)·a_С1·δS_С1 = 0.

Отсюда определим модуль a_С1 ускорения центра масс груза 1:

a_C1 = g·(8 – f₄·((b d)/b) – 2·(r₂/R₂)·sin(α) – f₃·2·cos(α)·(r₂/R₂))/

/(8 4·(i_С2Х2/R₂)² 2·(r₂/R₂)²) =

= 9,81·(8 – 0,1·((0,5 0,4)/0,5) – 2·(0,2/0,5)·0,5 –

– 0,1·2·0,866·(0,2/0,5))/

/(8 4·(0,1/0,5)² 2·(0,2/0,5)²) = 9,584 м/с².

Таким образом, ответ на вопрос (a_С1 =?), поставленный в курсовом задании Д 8, получен.

Вопросы и задания для самоконтроля

1. Записать формулу, выражающую общее уравнение динамики, в векторной форме.

2. Записать формулу, выражающую общее уравнение динамики, в скалярной форме.

3. Записать формулу, выражающую общее уравнение динамики, в координатной форме.

Уравнения Лагранжа второго рода – дифференциальные уравнения движения механической системы в обобщённых координатах.

Для механической системы с n степенями свободы эти уравнения имеют вид

(∂T_S/∂ ) – ∂T_S/∂q_Ci = Q_qci, i = 1, …, n,

где Т_S – кинетическая энергия механической системы; q_Ci – обобщённая координата; – обобщённая скорость; Q_qci – обобщённая сила по обобщённой координате q_Ci.

Число уравнений Лагранжа второго рада равно числу степеней свободы рассматриваемой механической системы.

Используя рис 6.30, поясним понятия «обобщённая скорость», «обобщённая сила».

На рис. 6.30 приняты условные обозначения: – активная сила, приложенная к точке механической системы; δq_Ci – приращение обобщённой координаты q_Ci (возможное перемещение i-й точки системы); – обобщённая скорость i-й точки механической системы.

Обобщённая скорость – производная по времени от обобщённой координаты.

= dq_Ci/dt.

Определим возможную элементарную работу δА_S( ) активных сил , приложенных к точкам механической системы при задании какой-либо её точке возможного перемещения δq_Ci.

δА_S( ) = Σ ·δq_Ci·cos( , δq_Ci).

Обобщенная сила Q_qci по обобщенной координате q_Ci – величина, равная отношению возможной элементарной работы δА_S активных сил , приложенных к точкам механической системы, к модулю δq_Сi приращения обобщённой координаты q_Ci.

Q_qi = δA_S( )/δq_Ci.

Формулировка уравнения Лагранжа второго рода.

Разность полной производной по времени от частной производной кинетической энергии по обобщенной скорости и частной производной от кинетической энергии по обобщенной координате равна обобщенной силе.

Уравнения Лагранжа второго рода используют в качестве универсального метода составления дифференциальных уравнений движения механических систем любой степени сложности. Преимущество этого метода по сравнению с применяемыми ранее общими теоремами динамики заключается в том, что в уравнениях Лагранжа второго рода используются только активные силы. Это намного упрощает решение задач динамики механических систем.

Согласно учебной программе выполнение курсового задания на применение уравнений Лагранжа второго рода к исследованию движения механических систем не предусмотрено. Тем не менее для развития общего кругозора студента приведём пример решения такого типа задач.

Пример.

Однородный барабан 1 массой m₁ и радиусом R₁ приводится во вращение активным моментом М. На барабан наматывается невесомый трос, перекинутый через невесомый блок 2. К свободному концу троса прикреплён груз 3 массой m₃ (рис. 6.31).

Механическая система начинает двигаться из состояния покоя. Составить дифференциальное уравнение вращательного движения барабана.

Дано: m₁ = 20 кг; R₁ = 0,2 м; m₃ = 10 кг; М = 200 Н·м.

Решение.

Механическая система имеет одну степень свободы. Примем за обобщённую координату q угол φ₁ поворота тела 1 (рис. 6.32).

Запишем уравнение Лагранжа второго рода для рассматриваемой механической системы.

(∂T_S/∂ ) – ∂T_S/∂φ₁ = Q_φ1,

где Т_S – кинетическая энергия механической системы; Q_φ1 – обобщённая сила по обобщённой координате φ₁; – обобщённая скорость.

Зададим приращение δφ₁ обобщённой координате φ₁. Тогда центр масс тела 3 получит возможное перемещение

δS_С3 = δφ₁·R₁.

Кинетическая энергия механической системы равна

Т_S = Т₁ Т₃,

где Т₁ – кинетическая энергия барабана 1; Т₃ – кинетическая энергия груза 3.

Тело 1 совершает вращательное движение относительно оси С₁Х₁. Его кинетическую энергию определим по формуле

T₁ = 0,5·J_C1X1·( )² = 0,5·(m₁·(R₁)²/2)·( )² = 0,25·m₁·(R₁)²·( )².

Согласно рис. 6.32 тело 3 совершает поступательное движение. Исходя из этого утверждения, его кинетическую энергию определим по формуле

T₃ = 0,5·m₃·(V_C3)² = 0,5·m₃·( ·R₁)².

В последней формуле символом V_C3 обозначена скорость центра масс тела 3.

Кинетическая энергия механической системы

Т_S = 0,25·m₁·(R₁)²·( )² 0,5·m₃·( ·R₁)² =

= (0,25·m₁ 0,5·m₃)·( ·R₁)².

Определим частную производную от кинетической энергии механической системы по обобщённой скорости .

∂T_S/∂ = 2·(0,25·m₁ 0,5·m₃)·(R₁)²· .

Тогда

(∂T_S/∂ ) = (0,5·m₁ m₃)·(R₁)²· .

Так как кинетическая энергия системы не зависит от обобщённой координаты φ₁, то соответственно её частная производная ∂T_S/∂φ₁ равна нулю (∂T_S/∂φ₁ = 0).

Тогда левая часть уравнения Лагранжа вторго рода равна

(∂T_S/∂ ) – ∂T_S/∂φ₁ = (0,5·m₁ m₃)·(R₁)²· .

Определим элементарную работу δА_S( ) сил, приложенных к механической системе на её возможном перемещении.

δА_S( ) = M·δφ₁ – G₃·δS_C3 = M·δφ₁ – m₃·g·δφ₁·R₁ =

= (M – m₃·g·R₁)·δφ₁.

Согласно определению обобщённая сила Q_φ1 по обобщённой координате φ₁ равна

Q_φ1 = δА_S/ δφ₁ = M – m₃·g·R₁.

Уравнение Лагранжа второго рода для рассматриваемой механической системы принимает вид

(0,5·m₁ m₃)·(R₁)²· = M – m₃·g·R₁.

Решая это уравнение относительно углового ускорения , получим

= =

= = 17,344 м/с².

Дважды интегрируя эти дифференциальные уравнения и определив постоянные интегрирования, получим:

= 17,344·t; φ₁ = 8,672·t².

Гироскопом называют симметричное твёрдое тело, угловая скорость вращения которого относительно оси симметрии значительно превосходит по модулю угловую скорость вращения оси симметрии.

I I = ω₁ >> I I = ω₂,

где ω₁, ω₂ – модули угловых скоростей , .

В современных гироскопических приборах частота n₁ вращения относительно оси симметрии (оси гироскопа) достигает значений 40000 – 50000 об/мин (ω₁ = 4200 – 5200 рад/с), а частота n₂ вращения оси симметрии равна одному обороту за 2 – 3 минуты (n₂ = 3, 14 – 4, 73 об/мин) и даже за 20 минут (n₂ = 0,314 об/мин) для гирокомпасов.

Рассмотрим случай, когда гироскоп движется в инерциальной системе отсчёта O₂X₂Y₂Z₂ около неподвижной точки О₂ (рис. 7.1).

На рис. 7.1 приняты условные обозначения: O₂X₂Y₂Z₂ – инерциальная система отсчёта (ИСО); O₁X₁Y₁Z₁ – подвижная система отсчёта (ПСО); – вектор угловой скорости вращения гироскопа относительно оси симметрии (ось симметрии гироскопа совпадает с осью O₁Z₁ подвижной системы отсчёта); – вектор угловой скорости вращения оси O₁Z₁ симметрии гироскопа относительно оси O₂Z₂ инерциальной системы отсчёта O₂X₂Y₂Z₂; θ – угол наклона оси O₁Z₁ симметрии к оси O₂Z₂ инерциальной системы отсчёта (угол нутации); L_O( ) – кинетический момент гироскопа относительно точки О при его вращении вокруг оси симметрии O₁Z₁ с угловой скоростью ; L_O( ) – кинетический момент гироскопа относительно точки О при его вращении вокруг оси O₂Z₂ инерциальной системы отсчёта O₂X₂Y₂Z₂ с угловой скоростью ; L_O – кинетический момент гироскопа относительно точки О при его вращении с угловой скоростью вокруг мгновенной оси вращения OZ₃; – вектор угловой скорости вращения гироскопа относительно мгновенной оси вращения OZ₃.

Начала О₁ подвижной системы отсчёта O₁X₁Y₁Z₁ и О₂ инерциальной системы отсчёта O₂X₂Y₂Z₂ помещены в точку О.

Гироскоп вращается с угловой скоростью относительно оси O₁Z₁ симметрии, которая в свою очередь вращается с угловой скоростью относительно оси O₂Z₂ инерциальной системы отсчёта O₂X₂Y₂Z₂.

Вектор абсолютной угловой скорости гироскопа определяют по формуле = . При этом вектор лежит на мгновенной оси OZ₃ вращения гироскопа.

Кинетический момент L_O гироскопа относительно точки О равен

L_O = L_O( ) L_O( ).

В развёрнутом виде последняя формула выглядит следующим образом:

L_O = J_O1Z1·( ) J_O2Z2·( ),

где J_O1Z1, J_O2Z2 – моменты инерции гироскопа относительно осей O₁Z₁, O₂Z₂.

Так как I I << I I, то величина угла θ очень мала (в современных приборах она составляет доли секунды). Тогда с достаточной для инженерной практики точностью можно считать, что

L_O( ) = J_O2Z2·( ) = 0.

С учётом этого допущения имеем

L_O = J_O1Z1·( ).

Из последнего выражения следует, что вектор L_O кинетического момента гироскопа относительно точки О совпадает с осью симметрии гироскопа. Исходя из этого утверждения, рис. 7.1 можно преобразовать к следующему виду (рис. 7.2).

На таком допущении основана приближённая (элементарная) теория гироскопов.

При решении задач с помощью приближённой теории гироскопов удобно пользоваться теоремой Резаля, которая выражается формулой

dL_O/dt = U = Σ M_O(F_i^E) Σ M_O(R_i^E) = ,

где L_O – кинетический момент гироскопа относительно точки О; U – скорость конца вектора L_O в инерциальной системе отсчёта; Σ M_O(F_i^E), Σ M_O(R_i^E) – геометрические суммы моментов активных сил F_i^E и реакций R_i^E внешней связи относительно точки О; – главный момент внешних сил, приложенных к гироскопу, относительно точки О.

Скорость U конца вектора L_O кинетического момента гироскопа относительно точки О направлена так же , как и вектор главного момента внешних сил , приложенных к гироскопу, относительно той же точки.

Использование теоремы Резаля позволяет решать следующие задачи: 1) по известным активным силам F_i^E и реакциям R_i^E внешней связи определяют направление движения оси симметрии гироскопа; 2) по известному закону движения оси гироскопа определяют главный момент внешних сил .

Пример 1.

Гироскоп совершает быстрое вращение относительно вертикальной оси OZ симметрии, имея неподвижную точку О (рис. 7.3).

Определить направление движения оси симметрии гироскопа, если к ней приложена активная сила F_i^E, которая параллельна плоскости OYZ.

Решение.

Приложим к гироскопу активную силу F_i^E, силу тяжести G и реакции X_O, Y_O, Z_O внешней связи в точке О (рис. 7.4).

Определим главный момент внешних сил относительно точки О.

= Σ M_O(F_i^E) Σ M_O(G) Σ M_O(X_O) Σ M_O(Y_O) Σ M_O(Z_O).

Так как Σ M_O(G) = 0, Σ M_O(X_O) = 0; Σ M_O(Y_O) = 0, Σ M_O(Z_O) = 0, то имеем

= Σ M_O(F_i^E).

Главный момент внешних сил относительно точки О приложен в этой точке и направлен по оси ОХ в сторону увеличения координаты Х (напомним, что момент силы относительно точки направляется перпендикулярно плоскости, проходящей через силу и точку так, что с его конца видно, что сила стремится повернуть тело вокруг точки против хода часовой стрелки).

Кинетический момент L_O = J_OZ· гироскопа относительно точки О направлен в сторону вектора угловой скорости вращения. Конец вектора L_O обозначим точкой D.

Применив теорему Резаля U = , направляем вектор U скорости точки D параллельно вектору .

Таким образом, ось OZ симметрии гироскопа будет перемещаться в плоскости OXZ, которая перпендикулярна направлению активной силы F_i^E.

Пример 2.

Определить движение тяжёлого гироскопа, ось которого составляет угол θ с вертикалью, если: – угловая скорость вращения относительно оси O₁Z₁ симметрии; J_O1Z1 – момент инерции гироскопа относительно оси симметрии; b = OC – расстояние от центра тяжести С до точки О опоры (рис. 7.5).

Рассмотрим движение гироскопа в инерциальной системе отсчёта OXYZ (рис. 7.6).

Приложим к гироскопу активную силу G (силу тяжести) и реакции X_O, Y_O, Z_O внешней связи в точке О. Модуль главного момента внешних сил, приложенных к гироскопу, равен

= G·OC·sin(θ).

Вектор главного момента внешних сил направлен по оси OY в сторону увеличения координаты Y.

Кинетический момент L_O гироскопа относительно точки О направлен по оси симметрии в сторону вектора угловой скорости и равен по модулю

L_O = J_O1Z1·ω,

где ω = I I – модуль вектора угловой скорости .

Обозначим точкой D конец вектора L_O. Согласно теореме Резаля, U = . Поэтому U – скорость точки D направлена перпендикулярно к оси симметрии (параллельна оси ОХ) в сторону увеличения координаты Х. Модуль U скорости U равен

U = = G·OC·sin(θ) = const.

Таким образом, точка D имеет постоянную по модулю скорость U, направленную перпендикулярно к вертикальной плоскости, содержащей ось симметрии гироскопа. При этом ось гироскопа описывает боковую поверхность кругового конуса, поворачиваясь относительно вертикальной оси OZ с угловой скоростью . Это движение называют регулярной прецессией оси гироскопа.

Вычислим модуль ω₁ угловой скорости регулярной прецессии.

ω₁ = I I = U/(DA) = = = .

Окончательно имеем

ω₁ = .

Чем меньше модуль ω угловой скорости вращения гироскопа относительно его оси симметрии, тем больше модуль ω₁ угловой скорости прецессии (от величины угла θ угловая скорость прецессии не зависит).

Задачи на определение движения оси гироскопа с помощью приближённой теории рекомендуется решать по следующему алгоритму.

1. Проверить, имеет ли гироскоп три степени свободы.

2. Выбрать систему координат.

3. Изобразить на рисунке внешние силы, приложенные к гироскопу.

4. Определить главный момент внешних сил относительно неподвижной точки О.

5. Найти кинетический момент L_O гироскопа относительно неподвижной точки О.

6. Применив теорему Резаля U = , определить движения оси гироскопа.

В экзаменационных задачах, как правило, требуется определить ω, J_O1Z1, ОС. Эти величины определяют по формулам:

ω₁ = ;

J_O1Z1 = ;

ОС = .

Пример 3.

На рис. 7.7 приведена схема гироскопа в кардановом подвесе. Конструктивная схема содержит корпус 1, уравновешенный массивный круглый цилиндр, горизонтальную 3 и вертикальную рамки.

Тело 2 вращается с угловой скоростью в подшипниках горизонтальной рамки 3 относительно оси ОХ. Рамка 3 может поворачиваться в подшипниках рамки 4 относительно оси OY. В свою очередь рамка 4 может поворачиваться в подшипниках корпуса 1 гироскопа относительно оси OZ. Координатные оси OX, OY, OZ пересекаются в центре масс механической системы, состоящей из тел 2, 3, 4.

Если точки О и С совпадают, то такой гироскоп называют астатическим (уравновешенным), в противном случае – тяжёлым.

Определить изменение положения оси ОХ вращения тела 2, пренебрегая трением в подшипниках.

Решение.

Гироскоп в кардановом подвесе имеет три степени свободы, так как его положение определяется тремя независимыми углами поворота относительно осей OX, OY, OZ, пересекающихся в центре С масс механической системы, состоящей из тел 2, 3, 4. При этих условиях главный момент внешних сил относительно точки О равен нулю: ( = 0). Кинетический момент L_O гироскопа направлен по оси ОХ. Конец вектора L_O обозначим точкой D (см. рис 7.7).

Применив теорему Резаля (U = ), находим U = 0, т. е. скорость точки U равна нулю. Это означает, что при вращении массивного тела 2 ось ОХ гироскопа сохраняет неизменное положение в пространстве.

Таким образом, ответ на вопрос, поставленный в задаче, получен.

При изменении положения оси гироскопа (рис. 7.8) формируется гироскопический момент относительно точки О, который определяют по формуле

= J_O1Z1· × ,

где J_O1Z1 – момент инерции гироскопа относительно оси O₁Z₁; – вектор угловой скорости вращения гироскопа относительно оси O₁Z₁; – вектор угловой скорости вращения гироскопа относительно оси прецессии OZ.

На рис. 7.8 оси OZ, O₁Z₁ расположены в плоскости OYZ. Согласно правилу векторного произведения вектор одновременно перпендикулярен векторам , и направлен в сторону, откуда виден поворот вектора к вектору , происходящий против хода часовой стрелки. Исходя из этого правила, вектор лежит на оси ОХ и направлен в сторону увеличения координаты Х. Модуль гироскопического момента определяют по формуле

= J_O1Z1·I I·I I = J_O1Z1·ω·ω₁·sin(θ),

где ω = I I, ω₁ = I I – модули векторов , ; θ – угол, составленный векторами , .

Гироскопический момент стремится совместить ось гироскопа с осью прецессии.

Рассмотрим быстрое вращение тела 1 с угловой скоростью в рамке 2, которая вращается относительно угловой оси OY с угловой скоростью (рис. 7.9).

При этом выполняется неравенство I I >> I I. По отношению к рамке 2 цилиндрические шарниры в точках А и В являются внешними связями. В этих связях формируются гироскопические (динамические) реакции R_A, R_B, противодействующие моменту . Реакции R_A, R_B образуют пару сил, алгебраический момент M^Sopr которой равен

M^Sopr = R_A·h.

Вектор M^Sopr этой пары сил направлен противоположно вектору гироскопического момента (рис. 7.10).

Вектор M^Sopr момента реакций опор А и В и его модуль M^Sopr можно также определять по формулам:

M^Sopr = – = × J_OХ· ·= – J_OХ· × ;

M^Sopr = J_OХ·ω·ω₁·= – J_OХ·I I×I I.

Задачи на определение гироскопических реакций опор рекомендуется решать по следующему алгоритму.

1. Изобразить на рисунке векторы угловой скорости собственного вращения гироскопа и его кинетического момента L_O = J_OХ· .

2. Определить и изобразить на рисунке вектор угловой скорости прецессии оси гироскопа.

3. Найти гироскопический момент и его модуль по формулам: = J_O1Z1· × ; = J_O1Z1·I I·I I = J_O1Z1·ω·ω₁·sin(θ),

где ω = I I, ω₁ = I I – модули векторов , ; θ – угол, составленный векторами , .

4. Определить вектор M^Sopr момента реакций опор А и В и его модуль M^Sopr по формулам:

M^Sopr = – = × J_OХ· ·= – J_OХ· × ;

M^Sopr = J_OХ·ω·ω₁·= – J_OХ·I I×I I.

5. Определить модуль реакции одной из опор гироскопа по формуле R_A = J_OХ·ω·ω₁/h.

УДАР

Примечание. Этот промежуток времени называют временем удара.

В теории удара классической механики вводится следующая идеализация этого процесса – совершается предельный переход к бесконечно большим силам, действующим бесконечно малое время (ударные силы) и имеющим конечный импульс S.

Ударная сила – сила, импульс которой за время удара является конечной величиной.

Ударный импульс – импульс ударной силы за время удара.

В технической литературе зачастую ударные силы называют мгновенными силами.

Согласно известным утверждениям кинематики поступательное движение твёрдого тела имеет такие же уравнения движения, как и точка. Рассмотрим движение материальной точки массой m в инерциальной системе отсчёта OXYZ под действием силы тяжести G и активной силы F_i^E на участке АВ (рис. 8.2).

В момент времени, когда материальная точка занимает на траектории её движения положение В, происходит удар. В этом положении материальная точка получает конечное изменение скорости от V₁ до V₂. В момент удара на материальную точку кроме сил G и F_i^E действует ударная сила Р. В отличие от ударной силы Р, силы F_i^E и G называют немгновенными силами.

В положении В, где действовала ударная сила Р, происходит резкое изменение траектории движения АВD точки. После прекращения действия ударной силы Р материальная точка на участке ВD снова движется под действием силы тяжести G и активной силы F_i^E.

Таким образом, в теории удара классической механики сделаны следующие допущения.

1. Действие немгновенных сил за время удара не учитывают.

2. Перемещение материальной точки за время удара не учитывают.

3. Результат действия ударной силы на материальную точку выражается в скачкообразном (конечном) изменении за время удара вектора её скорости, которое описывается векторным равенством V₂ = V₁ (S/m).

В действительности скачок скорости происходит в течение очень малого промежутка времени. Рассмотрим взаимодействие двух тел, совершающих поступательное движение в момент удара (рис. 8.3), и введём понятия, широко используемые в инженерной практике.

Линия центров – линия, проходящая через центры масс соударяющихся тел.

Центральный удар – удар, при котором линия действия ударного импульса, приложенного к ударяемому телу, проходит через его центр масс.

Прямой удар – удар, при котором скорости центров масс соударяющихся тел лежат на линии центров.

Косой удар – удар, при котором хотя бы одна из скоростей центров масс соударяющихся тел не лежит на линии центров.

Рассмотрение процесса удара требует выхода из рамок классической механики – отказа от схемы абсолютно твёрдого тела и перехода к схеме деформируемого тела. В зависимости от степени восстановления недеформированного состояния удары разделяются на абсолютно неупругие, упругие и абсолютно упругие.

Абсолютно неупругий удар – удар, при котором недеформированное состояние соударяющихся тел не восстанавливается.

В конце неупругого удара центры тяжести соударяющихся движутся с одинаковыми скоростями.

Упругий удар – удар, при котором недеформированное состояние тел восстанавливается не полностью.

В конце упругого удара центры тяжести соударяющихся тел движутся с разными скоростями.

Абсолютно упругий удар – удар, при котором недеформированное состояние соударяющихся тел восстанавливается полностью.

В конце абсолютно упругого удара центры тяжести соударяющихся тел движутся с разными скоростями.

Рассмотрим прямой центральный упругий удар двух тел. На рис. 8.4 изображена расчётная схема этого удара. До удара (см. рис. 8.4,а) соударяющиеся тела 1 и 2 движутся в одном направлении с абсолютными скоростями V_C1, V_C2 центров С₁, С₂ масс этих тел. На рис. 8.4,б изображен момент удара тел 1 и 2. Расчётная схема движения тел после удара приведена на рис. 8.4,в.

Напомним, что абсолютной скоростью называют скорость в инерциальной системе отсчёта.

Процесс упругого удара разделим на два этапа. В течение первого этапа (см. рис. 8.4,б) совершается деформация соударяющихся тел. В течение второго этапа – частичное восстановление недеформированного состояния. В момент окончания первого этапа и начала второго центры масс тел обладают одинаковыми скоростями, которые они имели бы в конце соответствующего абсолютно неупругого удара. В конце второго этапа центры масс тел имеют другие абсолютные скорости U_С1, U_С2.

Отношение изменений скоростей тел после удара к скоростям тел до удара характеризуется коэффициентом восстановления при ударе.

Коэффициент восстановления при ударе – величина, равная модулю отношения разности проекций скоростей центров масс тел на нормаль после удара к разности проекций скоростей центров масс тел на нормаль до удара.

Величину коэффициента k определяют по формуле

k = ,

где U_C2On, U_C1On – проекции абсолютных скоростей центров масс тел 2 и 1 на главную нормаль после удара; V_C1On, V_C2On – проекции абсолютных скоростей центров масс тел 1 и 2 до удара.

Коэффициент восстановления, являющийся безразмерной величиной, изменяется в пределах от 0 до 1 (0 < k < 1); при абсолютно неупругом ударе k = 0, при упругом ударе k < 1, при упругом ударе k = 1.

Рассмотрим косой центральный удар двух тел (рис. 8.5).

При рассмотрении косого центрального упругого удара поступательно движущихся твёрдых тел поверхности соударяющихся тел будем считать абсолютно гладкими.

До удара (см. рис. 8.5а) абсолютные скорости V_C1, V_C2 центров С₁, С₂ центров масс тел 1 и 2 направлены к линии центров под углами α₁, α₂. После удара (см. рис. 8.5,б) абсолютные скорости U_C1, U_C2 центров масс тел 1 и 2 направлены к линии центров под углами β₁, β₂.

Величину коэффициента k при косом ударе определяют по формуле

k = = .

Рассмотрим удар поступательно движущегося шара о неподвижную плоскость (рис. 8.6).

Шар массой m движется поступательно и скорость V_C направлена по нормали к неподвижной массивной поверхности в точке А. В момент времени, когда шар достигает этой поверхности, происходит прямой центральный удар. Различают две фазы этого удара. В течение первой фазы шар деформируется до тех пор, пока скорость его не станет равной нулю. Во время этой фазы кинетическая энергия шара обращается в потенциальную энергию сил упругости деформируемых тел и частично расходуется на их нагревание. В течение второй фазы под действием сил упругости шар частично восстанавливает свою первоначальную форму. Из-за остаточных деформаций и нагревания шара первоначальная кинетическая энергия шара полностью не восстанавливается. Поэтому шар отделяется от неподвижной поверхности с абсолютной скоростью U_С, модуль которой меньше модуля его скорости V_C до удара.

Согласно рис. 8.6, шар падает на неподвижную горизонтальную плоскость с высоты h₁, при этом начальная скорость его центра масс равна нулю (V_C = 0). В начале процесса удара скорость его центра масс равна V_C. В конце удара шар со скоростью центра масс U_С отрывается от неподвижной поверхности и поднимается на высоту h_2max, где скорость его центра масс равна нулю.

По известным величинам h₁, h_2max определяют коэффициент восстановления при ударе по формуле

k = .

Эта формула используется при экспериментальном определении коэффициента восстановления.

В случае абсолютно неупругого удара шар от плоскости не отделяется, т е. h₂ = 0. Тогда k = 0.

При абсолютно упругом ударе шар отскакивает от неподвижной плоскости и возвращается в исходное положение, т. е. h_2max = h₁. В этом случае k = 1.

При упругом ударе h_2max < h₁ и, следовательно, 0 < k < 1.

В случае прямого центрального удара тела о неподвижную поверхность модули скоростей связаны соотношением

U_С = k·V_C.

Рассмотрим косой удар шара о неподвижную горизонтальную плоскость (рис. 8.7).

Шар ударяется о неподвижную плоскость со скоростью V_C, которая направлена к этой плоскости под углом α. После удара шар отскакивает от неподвижной плоскости со скоростью U_С, под углом β к плоскости. Коэффициент восстановления при ударе определяют по формуле

k = .

Последняя формула указывает удобный способ экспериментального определения коэффициента восстановления k при упругом ударе. По этому способу замеряют угол α и угол β отражения.

В случае абсолютно упругого удара угол падения α равен углу отражения β, откуда k = 1.

Задачи на определение коэффициента восстановления при ударе решают по следующему алгоритму.

1. Направить на рисунке главную нормаль (ось On) вдоль линии центров, а касательную (ось Оt) – перпендикулярно к ней.

2. Вычислить проекции скоростей V_C1On, V_C2On центров масс С₁, С₂ соударяющихся тел в начале удара на главную нормаль.

3. Вычислить проекции скоростей U_C1On, U_C2On центров масс С₁, С₂ соударяющихся тел в конце удара на главную нормаль.

4. Определить коэффициент восстановления при ударе по формуле k = .

Из–за остаточных деформаций и нагревания тел при ударе происходит частичная потеря кинетической энергии соударяющихся тел. Определим потерю кинетической энергии при упругом ударе двух поступательно движущихся тел, имеющих коэффициент восстановления k.

Введём условные обозначения: Т₁ – кинетическая энергия механической системы до удара; Т₂ – кинетическая энергия механической системы после удара; ΔТ – потеря кинетической энергии механической системы в процессе удара.

Величины Т₁, Т₂, ΔТ определяют по формулам:

T₁ = 0,5·(m₁·(V_C1)² m₂·(V_C2)²);

T₁ = 0,5·(m₁·(U_C1)² m₂·(U_C2)²);

ΔT = T₁ – T₂,

где m₁, m₂ – массы соударяющихся тел; V_C1, V_C2 – модули абсолютных скоростей центров масс тел до удара; U_C1, U_C2 – модули абсолютных скоростей центров масс тел после удара.

Потерю кинетической энергии при прямом центральном упругом ударе определяют по формуле

ΔT = (1 – k²)· ·(V_C1On – V_C2On)²,

где V_C1On, V_C2On – проекции абсолютных скоростей центров масс тел 1, 2 на главную нормаль.

При абсолютно неупругом ударе k = 0 и, следовательно,

ΔT = ·(V_C1On – V_C2On)².

При абсолютно упругом ударе k = 1 и, следовательно, ΔT = 0.

Решение задач на вычисление потери кинетической энергии при ударе двух тел следует выполнять по приведённым выше формулам.

Рассмотрим процесс удара при вращении твёрдого тела на примере плоской пластины под действием активных сил F_i^E и реакций R_i^E внешних связей в инерциальной системе отсчёта OXYZ (рис. 8.8).

Твёрдое тело до удара вращается относительно оси ОХ с угловой скоростью . В момент удара о неподвижную поверхность (см. рис. 8.8,а) твёрдое тело имело угловую скорость , а после удара его угловая скорость изменилась до значения (см. рис. 8.8,в).

Напомним, что по теории удара силы F_i^E, R_i^E являются немгновенными силами, следовательно, их действие на твёрдое тело не учитывается.

В момент удара на тело действуют ударные силы Р_i^E, ударный импульс которых обозначим символом S(P_i^E) (см. рис. 8.8,б). Ударные силы Р_i^E относятся к разряду внешних сил.

Определим изменение угловой скорости тела в момент удара. Для этого воспользуемся выражением

L_OX(2) – L_OX(1) = ΣM_OX(S(P_i^E)),

где L_OX(1), L_OX(2) – кинетические моменты тела относительно оси ОХ вращения до и после удара; ΣM_OX(S(P_i^E)) – сумма моментов ударных импульсов относительно оси вращения тела.

Последняя формула выражает теорему об изменении кинетического момента механической системы при ударе.

Изменение кинетического момента механической системы относительно оси вращения при ударе равно сумме моментов внешних ударных импульсов, приложенных к точкам системы, относительно той же оси.

Кинетический момент твёрдого тела относительно оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно этой оси на модуль угловой скорости. Исходя из этого, имеем:

L_OX(1) = J_OX·I I; L_OX(1) = J_OX·I I.

Тогда теорему об изменении кинетического момента механической системы относительно оси вращения при ударе можно представить в следующем виде:

J_OX·I I – J_OX·I I = ΣM_OX(S(P_i^E)).

Отсюда

Δφ = I I – I I = .

Таким образом, изменение угловой скорости твёрдого тела, вращающегося относительно неподвижной оси, под действием внешних ударных сил равно сумме моментов импульсов этих сил относительно оси вращения, разделённой относительно той же оси.

Итак, действие ударного импульса на тело, вращающегося относительно неподвижной оси, проявляется в скачкообразном изменении его угловой скорости.

Этой теоремой следует пользоваться в задачах на удар по телу, вращающемуся относительно неподвижной оси, когда в число данных и искомых величин входят: ударные импульсы; момент инерции тела относительно оси вращения; угловые скорости в начале и конце удара.

Задачи с помощью теоремы об изменении кинетического момента механической системы при ударе решают по следующему алгоритму.

1. Изобразить на рисунке внешние ударные импульсы.

2. Вычислить сумму моментов ударных импульсов относительно оси вращения.

3. Подставив результат вычислений, полученный в предыдущем пункте, в уравнение Δφ = I I – I I = , определить искомую величину.