Классификация связей: голономные, стационарные и удерживающие. Виртуальное перемещение точки. Виртуальная работа. Идеальная связь.

Гибкие валы и булавы для вибраторов

Голономная система (физика)

В классической механике систему можно определить как голономную, если все связи системы голономны. Чтобы ограничение было голономным, оно должно быть выражено как функция :

ж(Икс1, Икс2, Икс3, …, ИксN, т)знак равно0,{ Displaystyle е (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, ldots, x_ {N}, t) = 0, ,}

т.е. голономная связь зависит только от координат и времени . Он не зависит от скоростей или какой-либо производной более высокого порядка по  t . Ограничение, которое не может быть выражено в форме, показанной выше, является неголономным ограничением .
Иксj{ Displaystyle х_ {j} , !}т{ Displaystyle т , !}

Дифференциальная форма

Рассмотрим следующую дифференциальную форму уравнения связи:

∑j cяjdqj cяdтзнак равно0;{ Displaystyle сумма _ {j} c_ {ij} , dq_ {j} c_ {i} , dt = 0; ,}

где c ij , c i – коэффициенты дифференциалов dq j и dt для i- го ограничения.

Если дифференциальная форма интегрируема, т. Е. Если существует функция, удовлетворяющая равенству
жя(q1, q2, q3, …, qN, т)знак равно0{ Displaystyle f_ {я} (q_ {1}, q_ {2}, q_ {3}, ldots, q_ {N}, t) = 0 , !}

dжязнак равно∑j cяjdqj cяdтзнак равно0,{ displaystyle df_ {i} = sum _ {j} c_ {ij} , dq_ {j} c_ {i} , dt = 0, ,}

тогда это ограничение является голономным; в противном случае неголономный. Следовательно, все голономные и некоторые неголономные связи могут быть выражены с помощью дифференциальной формы. Не все неголономные связи можно выразить таким образом. Примеры неголономных связей, которые нельзя выразить таким образом, – это те, которые зависят от обобщенных скоростей.

Жесткое тело

Частицы твердого тела подчиняются голономной связи

(ря-рj)2-Lяj2знак равно0,{ displaystyle ( mathbf {r} _ {i} – mathbf {r} _ {j}) ^ {2} -L_ {ij} ^ {2} = 0, ,}

где , – соответственно положения частиц и , – расстояние между ними.
ря{ displaystyle mathbf {r} _ {i} , !}рj{ Displaystyle mathbf {r} _ {j} , !}пя{ Displaystyle P_ {я} , !}пj{ Displaystyle P_ {j} , !}Lяj{ Displaystyle L_ {ij} , !}

Классификация связей: голономные, стационарные и удерживающие. виртуальное перемещение точки. виртуальная работа. идеальная связь.

Классификация физических систем

Чтобы изучать классическую физику строго и методично, нам необходимо классифицировать системы. Основываясь на предыдущем обсуждении, мы можем классифицировать физические системы на голономные системы и неголономные системы . Одним из условий применимости многих теорем и уравнений является то, что система должна быть голономной системой.

Маятник

Простой маятник

Как показано справа, простой маятник представляет собой систему, состоящую из груза и веревки. Трос прикреплен на верхнем конце к оси, а на нижнем конце к грузу. Длина строки нерастяжима, поэтому она постоянна. Следовательно, эта система голономна; он подчиняется голономной связи

Икс2 y2-L2знак равно0,{ displaystyle {x ^ {2} y ^ {2}} – L ^ {2} = 0,}

где – положение груза, а – длина струны.
(Икс, y){ Displaystyle (х, у) , !}L{ Displaystyle L , !}

Преобразование в независимые обобщенные координаты

Уравнения голономных связей могут помочь нам легко удалить некоторые зависимые переменные в нашей системе. Например, если мы хотим удалить параметр в уравнении ограничения , мы можем преобразовать уравнение в следующую форму, предполагая, что это можно сделать,
Иксd{ displaystyle x_ {d} , !}жя{ displaystyle f_ {i} , !}

Иксdзнак равнограммя(Икс1, Икс2, Икс3, …, Иксd-1, Иксd 1, …, ИксN, т),{ Displaystyle x_ {d} = g_ {i} (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, dots, x_ {d-1}, x_ {d 1}, точки, x_ {N}, t), ,}

и замените в каждом уравнении системы указанную выше функцию. Это всегда можно сделать для общей физической системы, при условии , что есть , то по теореме о неявной функции , решение гарантировано в некотором открытом множестве. Таким образом, можно удалить все вхождения зависимой переменной .
Иксd{ displaystyle x_ {d} , !}жя{ displaystyle f_ {i} , !}C1{ Displaystyle С ^ {1} , !}граммя{ displaystyle g_ {i} ,}Иксd{ displaystyle x_ {d} , !}Предположим, что у физической системы есть степени свободы. Теперь на систему накладываются голономные ограничения. Затем количество степеней свободы уменьшается до . Мы можем использовать независимые обобщенные координаты ( ), чтобы полностью описать движение системы. Уравнение преобразования можно выразить следующим образом:
N{ Displaystyle N , !}час{ Displaystyle ч , !}мзнак равноN-час{ displaystyle m = Nh , !}м{ Displaystyle м , !}qj{ displaystyle q_ {j} , !}

Иксязнак равноИкся(q1, q2, …, qм, т) ,язнак равно1, 2, …N.{ displaystyle x_ {i} = x_ {i} (q_ {1}, q_ {2}, ldots, q_ {m}, t) , qquad qquad qquad i = 1, 2, ldots N. ,}